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Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Sáb Mar 27, 2010 15:33

Seja f uma função real. Mostre que existem uma função par 'g' e uma função ímpar 'h' tal que f(x)= g(x) + h(x), \forallx \epsilon Domínio de f. Em particular, determine 'g' e 'h' no caso em que f(x)= ln({x}^{2}+x+1)

Iniciei esse ano meu curso de Ciencias Exatas e o professor de cálculo diferencial pediu que levássemos a resposta dessa questão e expuséssemos ela em sala de aula para toda a turma, resultado: por mais que eu tente quando chega no meio da questão eu me enrolo toda. Gostaria de ser ajudada se possível!

Desde já agradeço!
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Elcioschin » Sáb Mar 27, 2010 23:27

Vou tentar iniciar

f(x) = ln(x² + x + 1) ----> x² + x + 1 = e^f(x)

x² + x + 1 = e^[g(x) + h(x)] ----> (x² + 2x + 1) - x = [e^g(x)]*[e^h(x)] -----> (x + 1)² - (Vx)² = [e^g(x)]*[e^h(x)] ----> (x + 1 + Vx)*(x + 1 - Vx) = [e^g(x)]*[e^h(x)]

x + 1 + Vx = e^g(x) -----> g(x) = ln(x + 1 + Vx)

x + 1 - Vx = e^h(x) -----> h(x) =ln*(x + 1 - Vx)

Falta provar que uma das funções é ímpar e a outra par.
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Dom Mar 28, 2010 12:16

Vlw Elcioschin!
Ajudou mto :)
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Dom Mar 28, 2010 13:21

A prova de que g(x) é par:
g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}
g(-x)= \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}= \frac{f(-x)+f(x)}{2}= \frac{f(x)+f(-x)}{2}= g(x)
g(-x)= g(x)

A prova de que h(x) é ímpar:
h(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}
h(-x)= \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}= \frac{f(-x)-f(x)}{2}= \frac{-(-f(-x)+f(x))}{2}=\frac{ -(f(x)-f(-x)))}{2}= -h(x)
h(-x)= -h(x)

CORRETO?????

Agora, porque g(x) é uma função definida por:
g(x)= \frac{g(x)+g(-x)}{2}

e h(x) é uma função definida por:
h(x)= \frac{h(x) -h(-x)}{2}

????????????

E não por:
g(-x)= g(x)

e...

h(-x)= -h(x)

??????????????
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.