Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

por **Taah** » Sáb Mar 27, 2010 15:33

Seja f uma função real. Mostre que existem uma função par 'g' e uma função ímpar 'h' tal que f(x)= g(x) + h(x), $\forall$ x $\epsilon$ Domínio de f. Em particular, determine 'g' e 'h' no caso em que f(x)= ln( ${x}^{2}$ +x+1)

Iniciei esse ano meu curso de Ciencias Exatas e o professor de cálculo diferencial pediu que levássemos a resposta dessa questão e expuséssemos ela em sala de aula para toda a turma, resultado: por mais que eu tente quando chega no meio da questão eu me enrolo toda. Gostaria de ser ajudada se possível!

Desde já agradeço!

por **Elcioschin** » Sáb Mar 27, 2010 23:27

Vou tentar iniciar

f(x) = ln(x² + x + 1) ----> x² + x + 1 = e^f(x)

x² + x + 1 = e^[g(x) + h(x)] ----> (x² + 2x + 1) - x = [e^g(x)]*[e^h(x)] -----> (x + 1)² - (Vx)² = [e^g(x)]*[e^h(x)] ----> (x + 1 + Vx)*(x + 1 - Vx) = [e^g(x)]*[e^h(x)]

x + 1 + Vx = e^g(x) -----> g(x) = ln(x + 1 + Vx)

x + 1 - Vx = e^h(x) -----> h(x) =ln*(x + 1 - Vx)

Falta provar que uma das funções é ímpar e a outra par.

por **Taah** » Dom Mar 28, 2010 12:16

Vlw Elcioschin!
Ajudou mto

por **Taah** » Dom Mar 28, 2010 13:21

A prova de que g(x) é par:
g(x) = $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
g(-x)= $\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}$ = $\frac{f(-x)+f(x)}{2}$ = $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ = g(x)
g(-x)= g(x)

A prova de que h(x) é ímpar:
h(x)= $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
h(-x)= $\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}$ = $\frac{f(-x)-f(x)}{2}$ = $\frac{-(-f(-x)+f(x))}{2}$ = $\frac{ -(f(x)-f(-x)))}{2}$ = -h(x)
h(-x)= -h(x)

CORRETO?????

Agora, porque g(x) é uma função definida por:
g(x)= $\frac{g(x)+g(-x)}{2}$

e h(x) é uma função definida por:
h(x)= $\frac{h(x) -h(-x)}{2}$

????????????

E não por:
g(-x)= g(x)

e...

h(-x)= -h(x)

??????????????