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por **Rodrigo Tomaz** » Sex Fev 19, 2010 11:36

Olá, bom dia...

Tenho uma dúvida quanto à idéia final duma questão.
Seu enunciado apenas diz: "Se a e b são números reais tais que $\sqrt[2]{\frac{a}{b}}+\sqrt[2]{\frac{b}{a}}=\sqrt[2]{13}$ , quanto vale $\left|\sqrt[2]{\frac{a}{b}}-\sqrt[2]{\frac{b}{a}} \right|$ ?"

Então, eu comecei pela primeira expressão jogando a raiz quadrada do valor "13" para o outro lado:

$\left(\sqrt[2]{\frac{a}{b}}+\sqrt[2]{\frac{b}{a}} \right)^2=13$

Em seguida fui fazendo a resolução comum:

$\left( \sqrt[2]{\frac{a}{b}} \right)^2+2*\sqrt[2]{\frac{a}{b}}*\sqrt[2]{\frac{b}{a}}+\left( \sqrt[2]{\frac{b}{a}} \right)^2=13$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}=13$ $\Rightarrow$ $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=13-2=11$

Logo... $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=11$

Daí então não consegui complementar a idéia.
Caro professor:

Será que o Senhor pode me ajudar a terminá-la? Ou ainda me dizer se esta idéia não tem fundamento pra achar a resposta em questão?

Agradeço sua atenção e espero resposta.

por **guijermous** » Qui Mar 04, 2010 15:48

Boa, tb não consegui resolver. Alguem poderia ajudar?

por **MarceloFantini** » Qui Mar 04, 2010 22:38

Boa noite.

Não tenho certeza da resolução, mas aqui está como eu tentei.

$\sqrt {\frac{a}{b}} + \sqrt {\frac{b}{a}} = \sqrt {13}$

Multiplicando a primeira fração por $\sqrt {a}$ em cima e embaixo, e fazendo o mesmo processo na segunda só que multiplicando por $\sqrt {b}$ , temos:

$\frac{a}{\sqrt {ab}} + \frac{b}{\sqrt {ab}} = \sqrt {13}$

$\frac {a+b}{\sqrt {ab}} = \sqrt {13}$

Multiplicando por $\sqrt {ab}$ dos dois lados:

$a+b = \sqrt {13ab}$

Elevando ao quadrado:

$(a+b)^2 = (\sqrt {13ab})^2$

a^2 + 2ab + b^2 = 13ab

Somando-se -4ab

dos dois lados:

a^2 -2ab +b^2 = 9ab

Extraindo a raiz quadrada:

$a-b = 3 \sqrt {ab}$

Dividindo-se os dois lados por $\sqrt {ab}$ :

$\frac{a-b}{\sqrt {ab}} = 3$

$\frac{a}{\sqrt {ab}} - \frac{b}{\sqrt {ab}} = 3$

Multiplicando a primeira fração por $\sqrt {a}$ em cima e embaixo, e multiplicando a segunda por $\sqrt {b}$ do mesmo modo:

$\sqrt {\frac{a}{b}} - \sqrt {\frac{b}{a}} = 3$

Portanto:

$\left| \sqrt {\frac{a}{b}} - \sqrt {\frac{b}{a}} \right| = 3$

Acredito que seja isso.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

por **Rodrigo Tomaz** » Qui Mar 04, 2010 23:16

Boa noite Fantini,
muito obrigado sua resposta está certíssima!
tentei fazer mas achei que a resolução era isolada! mas pelo seu raciocínio vejo que não é tão complicado...
que Deus te abençoe fica na paz vlw!

por **MarceloFantini** » Sex Mar 05, 2010 16:09

Boa tarde.

Fico feliz em ter ajudado, mas percebi que a minha resolução é extremamente grande e, pior de tudo, desnecessária. Aqui vai uma solução mais rápida:

$x = \sqrt {\frac{a}{b}}$

$x + \frac{1}{x} = \sqrt {13}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt {13})^2$

$x^2 +2 + \frac{1}{x^2} = 13$

Somando-se (-4)

:

$x^2 -2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$\sqrt {(x - \frac{1}{x})^2} = \sqrt {3^2}$

$\left| x - \frac{1}{x} \right| = 3$

Espero ter ajudado (mais rapidamente).

Um abraço.

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