Função cubica

por **herobr23** » Seg Fev 23, 2015 19:10

Gostaria de saber como proceder nesse caso:
1. São dadas algumas equações de diversas funções. Construa seus gráficos.
f(x)x³+2x²+5x+8
Eu não consegui fazer essa equação e nem sei o que fazer, já tentei chutar e o valor mais aproximado deu 1,75 no chute, tentei pesquisar, contudo o material é muito escasso na internet.
Gostaria da ajuda de vocês em relação a como fazer esse gráfico.

Eu vi outro material que dizia que bastava atribui valor ao x, todavia, estou desconfiado e acho não esta certo.
Ficarei grato se vocês puderem me colocar no caminho certo para resolver a equação acima, ate mesmo com outros exemplos.

por **Baltuilhe** » Qua Fev 25, 2015 13:38

sBoa tarde!

Para a construção do gráfico de funções podemos nos utilizar dos conceitos de limite e derivadas de forma a poder obter o desejado.

$\lim_{x \to -\infty} f(x)$

$\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1)
Vamos começar pelos limites:
$\lim_{x \to -\infty} x^3+2x^2+5x+8 = \lim_{x \to -\infty} x^3\left(1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)=-\infty$
$\lim_{x \to +\infty} x^3+2x^2+5x+8 = \lim_{x \to +\infty} x^3\left(1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)=+\infty$

Ou seja, a função vai para menos infinito quando os valores de x vão para menos infinito e vai para mais infinito quando os valores de x vão para mais infinito.

2)
Derivando (para obter os pontos críticos, fazemos a derivada igual a zero);
f(x)=x^3+2x^2+5x+8

Resolvendo a equação do segundo grau:
3x^2+4x+5=0

$\Delta=(4)^2-4(3)(5)=16-60=-44$

Como o valor de delta é negativo esta equação NÃO possui raízes racionais. Portanto, não há valores críticos.
Analisando o sinal da derivada primeira, portanto, como só retornará valores POSITIVOS, indicando que a função f(x) é sempre CRESCENTE.

3) Derivada segunda:
f'(x)=3x^2+4x+5

Igualando a zero:
6x+4=0

$x=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$

Analisando o sinal da derivada segunda, como muda de negativo para positivo ao passar pelo -2/3, este ponto é um ponto de INFLEXÃO (ponto de mudança de concavidade).

Vou deixar o link do wolframalpha já com o gráfico desenhado.
Neste link => http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 2%2B5x%2B8

Veja que a função é crescente, e que no -2/3 ela muda de concavidade para baixo (antes do -2/3 a derivada segunda é negativa) para concavidade para cima.

Espero ter ajudado!

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