A função logarítmica é estritamente monótona , o que isto significa ?
R. Ela é estritamente crescente ou estritamente decrescente . O primeiro caso ocorre quando a base do logaritmo é maior que 1 e no segundo caso ocorre quando a base é maior que zero e menor que 1 .Veremos por que isto ocorre , antes porém , vamos revisar o que significa dizer função monótona .
Seja
uma função real .
i)
é decrescente se para todo
do domínio de
implica
ii)
é crescente se para todo
do domínio de
implica
Quando dizemos que a função é
estritamente crescente (ou decrescente ) , isto é para enfatizar a injetividade da função . Quando adicionamos a palavra
estritamente , a igualdade em (i) e (ii) nunca ocorrerá .
Fixe
e definiremos f por
.
Por definição ,
.
Se
. Daí se
implica
. Como
então ,
somente se
o que mostra que
. Acabamos de mostrar que
;logo
é estritamente crescente .
Está abstrato ??
Tome
, agora avalie
para valores positivos e negativos de
.
Se
, fazendo as mesmas contas vamos chegar em
.Como
então
se o expoente for negativo , daí
. Acabamos de mostrar que
; logo
é estritamente decrescente .
Exemplificar : Tome
,
e
.
Em resumo : A função logarítmica será estritamente crescente (respectivamente estritamente decrescente ) quando a base do logaritmo for um número maior que 1 (respecti. maior que zero e menor que 1 ) .
No exercício note que
e
. Pela teoria acima , devemos ter
.
Espero que fique claro .