sBoa tarde!
Para a construção do gráfico de funções podemos nos utilizar dos conceitos de limite e derivadas de forma a poder obter o desejado.
1. Obter os limites 
e 
;
2. Obter os pontos críticos calculando a derivada primeira e analisando;
3. Obter os pontos de inflexão e análise da concavidade pela derivada segunda;
1)
Vamos começar pelos limites:
Ou seja, a função vai para menos infinito quando os valores de x vão para menos infinito e vai para mais infinito quando os valores de x vão para mais infinito.
2)
Derivando (para obter os pontos críticos, fazemos a derivada igual a zero);
Resolvendo a equação do segundo grau:
Como o valor de delta é negativo esta equação NÃO possui raízes racionais. Portanto, não há valores críticos.
Analisando o sinal da derivada primeira, portanto, como só retornará valores POSITIVOS, indicando que a função f(x) é sempre CRESCENTE.
3) Derivada segunda:
Igualando a zero:
Analisando o sinal da derivada segunda, como muda de negativo para positivo ao passar pelo -2/3, este ponto é um ponto de INFLEXÃO (ponto de mudança de concavidade).
Vou deixar o link do wolframalpha já com o gráfico desenhado.
Neste link =>
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 2%2B5x%2B8Veja que a função é crescente, e que no -2/3 ela muda de concavidade para baixo (antes do -2/3 a derivada segunda é negativa) para concavidade para cima.
Espero ter ajudado!
