Funções

por **wsr** » Sáb Out 31, 2009 19:28

Uma Função f, de R em R, tal que f(x+5)= f(x) , f(-x)= -f(x) , f(1/3)=1. Seja a=f(16/3), b=f(29/3) e c= f(12)+f(-7) , então podemos afirmar que a, b e c, são números reais tais que:

A) a=b+c
B) b=a+c
C) c= a-b
D) c= (a+b)/2
E) a=(b-c)/2

Essa foi uma questão de prova da UPE de 2009. Tentei resolver mas não consigo chegar a alternativa do gabarito que é a ¨D¨. A única conclusão que tiro é que f(16/3)=1 , pois f(1/3 + 5)= f(1/3) , logo , f(16/3)=f(1/3)=1 ; e Só, travei!

por **thadeu** » Dom Nov 01, 2009 14:29

a) $\frac{16}{3}=\frac{15}{3}+\frac{1}{3}=5+\frac{1}{3}\,\Rightarrow\,f(x+5)=f(x)\,\Rightarrow\,f(\frac{1}{3}+5)=f(\frac{1}{3})\\\Rightarrow\,f(\frac{16}{3})=1\,\Rightarrow\,a=1$

b) $f(-\frac{1}{3}+5)=f(-\frac{1}{3})=-f(\frac{1}{3})=-1\,\Rightarrow\,f(-\frac{1}{3}+5)=f(\frac{14}{3})=-1\\f(\frac{14}{3}+5)=f(\frac{29}{3})\,\Rightarrow\,f(\frac{14}{3}+5)=f(\frac{14}{3})=-1\,\Rightarrow\,b=-1$

c) $f(-7)=f(-12+5)\,\Rightarrow\,f(-7)=f(-12)\,\Rightarrow\,f(-7)=-f(12)\\c=f(12)+f(-7)\,\Rightarrow\,c=f(12)-f(12)\,\Rightarrow\,c=0$

Substituindo os valores $a=1\,,\,\,\,b=-1\,\,\,e\,\,\,c=0$ :

$A)\,\,1=-1+0\,\,\,(falso)\\B)\,\,-1=1+0\,\,\,(falso)\\C)\,\,0=1-(-1)\,\,\,(falso)\\D)\,\,0=\frac{1-1}{2}\,\,\,(verdadeiro)\\E)\,\,1=\frac{-1+0}{2}\,\,\,(falso)$

Resposta D

por **wsr** » Dom Nov 01, 2009 14:33

Muito obrigado Thadeu!!!Valeu mesmo!

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