determinar os intervalos

por **virginia** » Sex Abr 26, 2013 14:09

Boa tarde segue abaixo outro exercício que não consegui resolver.

Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam a desigualdade.

X³ +1> X² + X

Bom comecei assim $=\frac{{X}^{2}+X}{{X}^{3}+1}$ > 0
Logo x³+1 #0 sendo x # - 1

Não conseguir fazer mais nada e a resposta do livro é:(-1,1)U(1, +infinito).

Obrigada.

por **e8group** » Sex Abr 26, 2013 17:25

Infelizmente não podemos proceder como vc fez .

Pense um pouco :

Claramente 2 > -3

, mas

é um absurdo .Desta forma ,não necessariamente x^2 + x > x^3 + 1

implica $\frac{x^2 + x}{x^3 + 1} > 0$ (Por quê ?) .

Mas ,note que se x^2 + x < x^3 + 1

então

x^2 + x -[x^3 + 1] < x^3 + 1 -[x^3 + 1] = 0

. Logo ,

se x^2 + x < x^3 + 1

concluímos que x^2 + x -x^3 - 1 < 0

.

Agora observe que o número 1 é solução da equação x^2 + x -x^3 - 1 = 0

.Assim ,podemos fatorar x^2 + x -x^3 - 1

ao dividir por x-1

obtendo ... . Aliás ,pensando melhor ,

note que $x^2 + x -x^3 - 1 = x^2 - x^3 + (x-1) = -x^2(x-1) + 1\cdot (x-1) = (x-1)(1-x^2)$ .

E ainda 1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1+x)(1-x) = - (x-1)(1+x)

.

Daí

$x^2 + x -x^3 - 1 = x^2 - x^3 + (x-1) = -x^2(x-1) + 1\cdot (x-1) = (x-1)(1-x^2) = -(x-1)^2(1+x)$ .

Agora é fácil , como (x-1)^2

é sempre positivo para todo $x\neq 1$ ,concluímos que $-(x-1)^2(1+x) < 0 \iff -(1+x) <0 \iff 1+x > 0 \iff x > -1$ .Lembrando que $x\neq 1$ segue a reposta do gabarito .

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