[Funções] Questão interessante.

por **Russman** » Qui Jan 17, 2013 19:27

Essa questão eu resolvi por inspeção. Gostaria de ver as opções de resolução que vocês sugerem. Achei bem interessante.

: GEO2.gif (30.64 KiB) Exibido 1275 vezes

por **ant_dii** » Sex Jan 18, 2013 02:14

É interessante Russman você notar que a função seno (no caso $f(x)= \sin{(2x)}$ ) atinge seu máximo em 1 e mínimo em menos 1.

Qualquer função que cruze este intervalo (ou seja, que possua imagem neste intervalo) vai interceptá-la em algum momento.
Veja que a única função que não cruzará este intervalo é a função g(x)=3+2^x

.
Pois veja bem: supondo que ela esteja definida neste intervalo então teremos que há valores de g(x)=3+2^x

neste intervalo, mas para quais valores de

?
Para verificar podemos fazer:
$-1\leq 3+2^x\leq 1 \Rightarrow -4\leq 2^x\leq-2$

e veja que não há valor de

que satisfaça nenhuma das desigualdades (pelo menos valores em $\mathbb{R}$ ).

Nas outras sim: veja que sempre teremos $-1 \leq \sin{x} \leq 1$ ;

sempre $-\infty < \log{x} < \infty$ e a função logaritmo (e a seno também) é sempre continua o que força que se cruzem em algum lugar.

sempre $|x|\geq$ , indicando que se interceptarão no zero pelo menos.

e 2x+3

é o mesmo caso de $\log{x}$ .

Mas de toda forma, a questão é interessante. Força-lhe a conhecer as propriedades básicas e talvez imperceptíveis de antemão das funções corriqueiras.

Até mais :y: