Fuvest - Gráfico exponencial

por **Mariana Martin** » Seg Jul 09, 2012 18:54

Olá, pessoal, não consigo entender porquê "a" é igual a -1, para mim a deveria ser igual a 1 positivo já que "a" é o termo independente. Me ajudem por favor.

Seja $f(x)= a + {2}^{bx+c}$ em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]?1,
?[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, ?3/4). Então,
o produto abc vale?

por **Russman** » Seg Jul 09, 2012 19:25

Você possui 3 informação sobre a função. Monte um sistema, determine os parametros separadamente e , em seguida, efetue o produto.

$\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = -1\\ f(0)=-\frac{3}{4}\\ f(1)=0 \end{matrix}\right.\$

por **Mariana Martin** » Ter Jul 10, 2012 12:54

Desculpe, não entendi qual é o produto.
Tentei começar assim:
$a+{2}^{bx}.{2}^{c}=-1== {-2}^{b}.{2}^{c}+{2}^{bx}.{2}^{c}=-1$
Mas ainda assim não consigo ver como posso chegar no a= -1

por **0 kelvin** » Qua Jul 11, 2012 00:53

Conceito de limite é aplicável, mas como a fuvest não cobra limites:

Vou te dar uma dica: não tente um caminho só algébrico, pense nesse a = -1 de modo geométrico.

No papel ou em qualquer site ou programa de computador que faça gráficos de função, faça o gráfico desses três casos:

x^2

Agora veja o seguinte: vc deve saber que uma função exponencial da forma a^x, qualquer que seja o valor de x e de a a função não "encosta" no eixo x (não existe número elevado a outro que dê zero). Ou seja, a imagem é o intervalo ]0, oo[. Mas o enunciado diz que a imagem é o intervalo ]-1, oo[, oras, então o que a função tem que desloca todo o gráfico de uma unidade, tal que a função exponencial dada na questão tenha pontos na parte negativa do eixo y?

PS: a fuvest repete muito esse estilo, esta tudo lá dado e bem claro, mas se vc pula uma informação ou não entende direito, o problema fica insolúvel.

por **Mariana Martin** » Qua Jul 11, 2012 12:36

Tudo bem, o termo independente faz com que a função "suba" ou "desça" em relação ao eixo das ordenadas (y), mas então, se a= -1 e o intervalo é ]-1;+ $\infty$ [, há a coordenada (0,0) ?
Isso não deveria ser impossível, como pode haver a coordenada (0,0)? Se ${0}^{x} \forall x = 1$

por **0 kelvin** » Qua Jul 11, 2012 14:39

Lendo novamente a questão me saltou um outro detalhe:

A forma bx + c te lembra alguma coisa? É a forma de uma função afim. Pegue uma função por exemplo f(x) = 1x + c. O que acontece com a raiz dessa função quando o valor de c varia para mais e para menos? Vê um deslocamento no eixo x para a direita e para esquerda?

Parece que houve alguma confusão no quesito domínio e imagem da função se eu entendi direito a sua dúvida. A semireta dada no enunciado esta no eixo y. O domínio da função, que são todos os reais, esta no eixo x. Tanto no conjunto de valores do domínio quanto da imagem o valor zero existe, mas na função o ponto (0,0) não existe. Basta uma rápida observação para notar que se a função passa por (1,0) e (0, -3/4), ela não passa pela origem de jeito nenhum.

por **Mariana Martin** » Qui Jul 12, 2012 13:18

Agora entendi a minha dúvida, só que não compreendi seu questionamento sobre o deslocamento para a esquerda ou direita se o "c" da função f(x)=bx+c

aumentar ou diminuir.
se f(x)= Im(f) então o "c" não deveria fazer a função subir ou descer?

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 13:47

Mariana Martin escreveu:Agora entendi a minha dúvida, só que não compreendi seu questionamento sobre o deslocamento para a esquerda ou direita se o "c" da função aumentar ou diminuir.

Note que " c " é o termo que intercepta o eixo y . Basta tomar f(0) e observa o mesmo . Assim f desloca (com a mesma direção) em relação ao eixo y a medida que c varia .

OBS.: Citei direção porque a inclinação da reta é independente do termo c .

Para você visualizar , imagine uma outra função , por exemplo : $g(x) = bx +\alpha c$ , onde $\alpha$ é um escalar . Fazendo uma analogia se g e f fosse uma reta r e s por exemplo teríamos duas retas paralelas . Pense assim ...

por **e8group** » Qui Jul 12, 2012 15:41

santhiago escreveu:Agora entendi a minha dúvida, só que não compreendi seu questionamento sobre o deslocamento para a esquerda ou direita se o "c" da função f(x) = bx+c aumentar ou diminuir.

Mariana Martin escreveu:Note que " c " é o termo que intercepta o eixo y . Basta tomar f(0) e observa o mesmo . Assim f desloca (com a mesma direção) em relação ao eixo y a medida que c varia .

OBS.: Citei direção porque a inclinação da reta é independente do termo c .

Para você visualizar , imagine uma outra função , por exemplo : , onde é um escalar . Fazendo uma analogia se g e f fosse uma reta r e s por exemplo teríamos duas retas paralelas . Pense assim ...

Ah quero deixar bem claro que eu disse acima é verdadeiro se for uma função linear . ok .

em relação ao seu exercício ,

$f(x) = a + 2^{bx+c}$

pelo enunciado sabemos que :

f(1) = 0

--------------------- i)

f(0) = -3/4

---------------------ii)

i) Temos que : f(1)= 0

se e somente se a= -1

(porque ? Resposta: deixo a você refletir e chegar a conclusão ,ok. ) e b +c = 0

, ou seja : b = -c

.

ii)

De i) em ii) obtemos :

$- 1+2^{c} = -3/4$

$4( - 1+2^{c}) = 4(-3/4)$

$- 4+2^{c+2} = -3$

$4 - 4+2^{c+2} = -3 +4$

$2^{c+2} = 1$

$2^{c+2} = 2/2$

$2^{c+2} = 2^{0}$ , portanto c =-2