otimização (não sei se é aqui que devo postar)

[MarinheiroMat]

Problema de otimização

Mensagempor MarinheiroMat » Qua Mai 18, 2011 13:57
Uma fabrica de frascos destinados a produtos de conserva pretende o seguinte:
-> construir uma embalagem cilindrica com capacidade de 48? cm^3
-> A base inferior do cilindro do mesmo material da superficie lateral, que custa 2 euros por m^2
-> a base superior do cilindro de um material mais caro, que custa 3 euros por m^2

Supondo que não haverá perdas de material:
2.1 verifique que o custo de cada embalagem e dado, em euros, por:
C(r) = 0,0005?r^2 + 0,0192?/r sendo r o raio da base em cm.

2.2 Determine, com aproximação ás centesimas a altura e o raio da base do cilindro de modo a minimizar o custo do material gasto.

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Na primeira pergunta não sei como responder ja fiz o grafico na maquina calculadora mas acho que não é por ai
Na segunda pergunta não sei mesmo como fazer

Dêem me dicas para como fazer.

sfffffffffff



Alguem consegue chegar lá eu não

[Max Cohen]

[Otimização] Olá
primeiro passo: Vamos encontrar uma função que descreva a altura, sabemos que V=48picm^3, então temos que V=pir^2.h (Volume do cilindro), então h=V/pir^2, então h=48pi/pir^2, então h(r)=48/r^2.
segundo passo: Vamos calcular as áreas das bases Ab1=pir^2, Ab2=pir^2.
terceiro passo: Vamos calcular o custo das bases, então temos C1=Ab1xV1(custo da base inferior), C2=Ab2xV2(custo da base superior), V1=2euros/m^2 e V2=3euros/m^2, C3=AlxV3(custo da área lateral), donde Al=2pirh, então Al=2pir(48/r^2), então Al=96pi/r, então C3=(96pi/r)xV3, tal que V3=V1, então C3=(96pi/r).2, porém nossas áreas estão em cm^2, basta mutiplica-las por 10^-4 para passa-las para m^2, então, temos que Ct=C1+C2+C3(custo total), então Ct=(pir^2x2+pir^2x3+(96pi/r)x2):10^-4 = 0,0005pir^2 + 0,0192pi/r, então C(r)=0,0005pir^2+0,0192pi/r.
Para achar o minimo, você deve derivar a função custo e depois iguala-la a 0, assim;
C'(r)=0,001pir - 0,0192pi/r^2, então C'(r)=0, então 0,001pir = 0,0192pi/r^2, então r^3 = 0,0192/0,001, então r^3 = 19,2, então r = 2,6777cm e daí h = 48/(2,6777)^2 então h = 6,6945cm.