Problema parabola

por **Pedroa** » Ter Mai 08, 2012 13:50

O problema e feito a volta de uma ponte em arco que faz uma parabola de diametro de 200, altura ou h=80 dois pontos A e B com altura de 50
este e o enunciado : Considerando que o arco é parte de uma parábola, escolhe um referencial e, relativamente a esse referencial, determina:
1. a equação da parábola;
2. a distância entre os pilares A e B

eu sei que y=a(x-h)^2+k
eu faltei a imensas aulas e nao faço ideia como descobrir "a" , por isto quero dizer que nao sei descobrir os pontos x e y da equaçao, ja me disseram que e um ponto ocalhas mas isso deixa a questao como e que eu descubro o y desse ponto.
a distancias entre os pilares nao faço mesmo ideia nenhuma como fazer
Qualquer ajuda era apreciada, obrigado.

por **joaofonseca** » Ter Mai 08, 2012 17:25

No que respeita à equação da parabola, a questão é redundante.Pois existem infinitas equaçãoes que cumprem os parametros da pergunta.
Exemplo:

Imaginemos que uma das raízes é x=200

e a outra é x=0

. Assim sabemos que o máximo da parabora é

f(100)=80

.

Sabemos també que $a(x-r_{1})(x-r_{2})=y$ . Então:

$a(x-0)(x-200)=y \Leftrightarrow ax(x-200)=y \Leftrightarrow a(x^2-200x)=y$

Agora substituimos x e y por um par ordenado conhecido:

$a(100^2-200 \cdot 100)=80 \Leftrightarrow a(10000-20000)=80 \Leftrightarrow -10000a=80 \Leftrightarrow$
$a=-\frac{8}{1000}$

Outro exemplo:

Agora o eixo de simetria é x=0

. Temos então:

$a(x+100)(x-100)=y \Leftrightarrow a(x^2-10000)=y$

Substitui-se por um par conhecido.Atenção que neste exemplo temos f(0)=80

.

$a(0^2-10000)=80 \Leftrightarrow -10000a=80 \Leftrightarrow a=-\frac{8}{1000}$

Na 2ª questão, e para facilitar, tomemos o último exemplo:
Seja A um ponto sobre o semi-eixo negativo das abcissas e B um ponto sobre o semi-eixo positivo das abcissas.

A equação da parabola será do tipo y=ax^2+cx+b

.
O valor de a é $-\frac{8}{1000}$ . O valor de b é 80. Então, substituindo:

$-0,008 \cdot 0^2+c \cdot 0+80=80 \Leftrightarrow c=0$

Logo a equação da parabola neste exemplo é:

y=-0,008x^2+80

Sabemos que f(A)=50

. Então:
$-0,008x^2+80=50 \Leftrightarrow -0,008x^2=-30 \Leftrightarrow x^2=3750 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3750}$

Nexte caso temos que $A=-\sqrt{3750}$ e $B=\sqrt{3750}$ . Logo a distancia entre A e B é $2 \cdot \sqrt{3750}$

A Matemática não é díficil, mas dá trabalho!

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