Guidorizzi - Cap 1 - Ex 17

por **kryzay** » Qua Jul 27, 2011 09:20

Fala galera, como vai?

Estou com dúvida em resolver esse exercício. Eu não entendi a explicação de como proceder.

Será que alguém pode ajudar. Estou a um bom tempo matutando a cabeça.

Imagem

Eu coloquei na imagem todas as questões, mas eu quero saber como faz apenas UMA.

Se alguém entender e souber me explicar como devo fazer ficarei muito agradecido.

por **Guill** » Qua Jul 27, 2011 11:25

$p(x) = {a}_{0}x^n + {a}_{1}x^{n-1} + ... + {a}_{n-1}x + {a}_{n}$

Isso é um polinômio. Ele pode ser escrito assim:

$p(x) = \left(x-a \right)\left(x-b \right)...\left(x-y \right)\left(x-z \right)$

As raízes desse polinômio são a,b...,y,z.

Se você multiplicar esse polinômio, fica claro que:

${a}_{n}=a.b ... y.z$

An é o produto de todas as raízes da equação. Considere que $\alpha$ é uma raíz da equação. Isso quer dizer que o termo independente An tem $\alpha$ como seu produto:

An = a.b. $\alpha$ ...y.z

Isso prova que $\alpha$ divide An.

por **kryzay** » Qua Jul 27, 2011 11:49

Fala Guill,

Eu entendi sua explicação.

Exceto por:

"Isso é um polinômio. Ele pode ser escrito assim:

p(x)=(x-a)(x-b)...(x-y)(x-z)

As raízes desse polinômio são a,b...,y,z."

Queria saber como eu coloco um polinônio dessa forma.
Se for possível tenta dar um exemplo com uma equação do 3º grau, como a letra A por exemplo.

por **Guill** » Qua Jul 27, 2011 12:16

Qualquer polinômio pode ser escrito dessa forma. Por exemplo:

x² - 4x + 3 = 0

Observa-se claramente que as raízes dessa equação são 3 e 1. Para escrever como um polinômio:

(x - 3)(x - 1) = 0

Raízes = {1;3}

Substitua uma raíz qualquer no polinômio:

(x - 3)(x - 1) = 0

(3 - 3)(3 - 1) = 0

0.2 = 0

0 = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

(1 - 3)(1 - 1) = 0

-2.0 = 0

0 = 0

As raízes zeraram o polinômio. Essa forma de escrever é a forma fatorada desse polinômio. Para escrever ele assim, deve-ter as raízes dele:

Se uma equação qualquer tem raízes 1, -2 e 3.

Então, basta inverter o sinal:

(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0

Se multiplicar termo a termo, terá a equação:

(x² + x - 2)(x - 3) = 0

x³ - 2x² - 5x + 6 = 0

por **kryzay** » Qua Jul 27, 2011 12:22

Entendi Guill, eu até tinha feito no caderno aqui.

No entanto, minha dúvida eh assim:

Temos essa equação, por exemplo:

x^3 + 2x^2 +x - 4 =0

Como você iria encontrar as raízes?

Obg.

por **Guill** » Qua Jul 27, 2011 12:43

Não existe uma fórmula geral para isso. E eu não sei muito arespeito dessas equações porque eu estou no 2º ano do ensino médio. Mas eu conheço uma técnica que é assim:

x³ + 2x² + x - 4 = 0

1.x³ + 2.x² + 1.x - 4 = 0

Ache os divisores de a e d (levando em consideração que a equação é ax³ + bx² + cx + d = 0):

D = {-1;1;2;-2;-4;4}

Substituia cada uma na equação:

x³ + 2x² + x - 4 = 0

(-1)³ + 2(-1)² + (-1) - 4 = 0

-1 + 2 - 1 - 4 = 0

-4 = 0 (-1 não é raíz)

(1)³ + 2(1)² + 1 - 4 = 0

-3 + 3 = 0

0 = 0 (1 é raíz)

(-2)³ + 2(-2)² + (-2) - 4 = 0

-8 + 8 - 6 = 0

-6 = 0 (-2 não é raíz)

(2)³ + 2(2)² + (2) - 4 = 0

8 + 8 - 2 = 0

14 = 0 (2 não é raíz)

(-4)³ + 2(-4)² + (-4) - 4 = 0

-64 + 24 = 0 (-4 não é raíz)

(4)³ + 2(4)² + (4) - 4 = 0

64 + 32 = 0 (4 não é raíz)

1 é a única raíz INTEIRA dessa equação. Esse método só serve para encontrar as raízes inteiras.

por **kryzay** » Seg Ago 01, 2011 10:08

Fala Guill,

Desculpe a demora para responder, é que esse assunto me deu muito a que pesquisar.

Com o exercício eu aprendi:

* Nova forma de um polinômio (Guill)
* Encontrar Raizes inteiras (Guill)

E procurando eu encontrei o dispositivo de Briott-Ruffini.

Com ele eu posso dividir qualquer polinômio por um monômio do tipo x-a.

Queria te agradecer Guill, você me ajudou muito aqui.

Espero que o exercicio possa ajudar outras pessoas também.

por **LuizAquino** » Seg Ago 01, 2011 12:14

Guill escreveu: $p(x) = {a}_{0}x^n + {a}_{1}x^{n-1} + ... + {a}_{n-1}x + {a}_{n}$

Isso é um polinômio. Ele pode ser escrito assim:

$p(x) = \left(x-a \right)\left(x-b \right)...\left(x-y \right)\left(x-z \right)$

Uma pequena correção. Faltou colocar o termo a_0

multiplicando toda a forma fatorada.

Isto é, se x_1

,

, ...,

são as raízes de p(x), então a sua forma fatorada será:

$p(x) = a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$

Exemplo:
A forma fatorada de p(x) = 5x^3 - 10x^2 - 5x + 10

é:

por **Buda** » Sáb Out 29, 2011 23:04

Esse assunto nao tem muitas formulas especificas.Mais com muita pratica fica um assunto muito facil.

A eq. x^3 + 2x^2 +x - 4 =0
É uma eq. do 3° grau. para essa funçao vc vai fazer o seguinte.
pegue o valor de ''d'' da eq. y = ax^3 + bx^2 + cx + d . Neste exercicio o '''d'' = 4

e pegue seus valores multiplos. no exemplo -+ 1 , -+2, -+4. E substitua na funçao y todos os valores, um de cada por vez. E o que der y(do valor) =0 essa é sua raiz

Nota: se o valor ''a'' da funçao for diferente de 1, por exemplo 4. Neste exemplo vc vai ter que pegar valores dividos por 4 tambem.
-+1, -+2, -+4, -+1/4, -+ 2/4 que é igual a -+1/2, e -+4/4 que ja foi feito anteriormente na primeira tentativa.Para ''a'' = 4 eu nao tentei neste exato exemplo, portanto eu nao sei se vai funcionar.
Obs: Mais este metodo funciona em maior parte das vezes. So tem problemas quando ouver raizes complexas.Que raramente cai no vestibular, ou ensino medio.Este metodo pode ser usado tanto em equaçoes do 2° como 3° e assim vai.

Continuando o exercicio. substituindo os valores vc vai axar uma das raizes x= 1 . portanto y(1)=0

entao voce pode dividir a funçao x^3 + 2x^2 +x - 4 por x-1. Onde a x-1=0 x=1 é a raiz.
fazendo a divisao ficara.
quociente = x^2 + 3x + 4
resto = 0
A funçao x^2 + 3x + 4 nao tem raiz real. Portanto a funçao x^3 + 2x^2 +x - 4 =0 tem apenas uma raiz real x=1.
para saber se a funçao tem raiz dupla, uma apenas ou nenhuma. É so usar bascara,a parte do Delta = (b² -4ac)^0,5 , se der um valor positivo tem 2 raizes, se for igual a zero 1 raiz, e negativo nao tem raiz.

No exercicio 17. Voce pode usar este metodo que achara todas as raizes.