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DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Ter Jun 26, 2012 10:28

Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0

Eu comecei supondo que existe um número, racional escrito como uma fração irredutivel {\left (\frac{p}{q} \right)}

Dessa forma {\left (\frac{p}{q} \right)}^{5}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{4}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{3}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{2}+1=0\Rightarrow\frac{{p}^{5}}{{q}^{5}}+\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{3}}{{q}^{3}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}+1=0

\Rightarrow\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0

\left(\frac{p}{q}+1 \right).\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)+1=0

Mas daqui em diante eu não sei o que fazer e nem sei se estou no caminho certo!

Poderiam me ajudar
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Ter Jun 26, 2012 16:38

minha ideia foi essa :

1) \forall x \in \mathbb{Q},\exists{p}\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N^*} tais que x =\frac{p}{q} .

2) Seja f uma função ,onde f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1.

A parti de 1)Concluímos que \nexists{c} \in \mathbb{Q} tal que f(c) = 0 .


Prova :

f(x) = 0 \Longrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2 +1 = \left(x^2+x^4\right)\left(x+1\right) = 0 .

x^2+x^4 > 0, \forall x \neq 0

x+1 < 0 , \forall x <-1

note que f(-2) > f(-3) > f(-4) > ....> f(n)


Conclusão , como c \in (-2,-1) ,\nexists {\frac{p}{q} } tal que \frac{p}{q} =c .


Espero que ajude ....
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Qua Jun 27, 2012 23:23

Complementando a resolução ,até porque cometi erros no " Latex" ....

washington_araujo escreveu:Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0


Seja f,g,h funções tais que g(x) = x+1 ,h(x) = x^2+x^4 e f(x) = h(x)g(x) +1

Pela definição de número racional sabemos que \forall x \in \mathbb{Q} \exists p \in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N^{*}} tais que x =\frac{p}{q} .

Vamos primeiro provar que existe um c tal que f(c) = 0 ,sabemos que c é ( real) entretanto ainda não sabemos se ele é ou não racional .

Prova :

f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1 =(x+1)(x^2+x^4)+ 1 = h(x).g(x) + 1  = 0 \iff h(x).g(x) = - 1

Como ,

h(x) > 0 ,\forall x \neq 0 e g(x) < 0 ,\forall x < - 1

Então pelo fato de f ser contínua e " mudar de sinal " para (x < -1) e(x \geq -1) , veja ,por exemplo :

f(-\sqrt{2}) < 0 e f(-1) = 1 > 0 .Ou seja,como 0 \in [f(-\sqrt{2},f(-1)] então c \in (-\sqrt{2} ,-1) . (TVI ,veja :(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio ) ,assim concluímos que \nexists \frac{p}{q} = c de modo que f tenha solução racional quando f(x) =0 .


Há de ter uma resolução melhor !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Qui Jun 28, 2012 10:40

SANTIAGO,

EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.
DESCULPA ESTAR PEDINDO MUITA EXPLICAÇÃO É QUE EU AINDA NÃO PEGUEI O JEITÃO DA COISA, MAS VALEU DESDE JÁ PELA RESOLUÇÃO JÁ ABRIU MUITO OS CAMINHOS PARA A RESOLUÇÃO DE ALGUNS OUTROS EXERCÍCIOS.
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Sex Jun 29, 2012 10:22

washington_araujo escreveu:EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.


washington araujo ,Vamos lá .

Primeiramente você sabe oque é função contínua , se não ! recomento a leitura do mesmo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... t%C3%ADnua) .

" grosso modo " ...



o que eu fiz foi escolher valores a esquerda bem próximo de - 1 tais que c pertence a este intervalo .Note que -\sqrt{2} \approx - 1,4  , f\left(-\sqrt{2}\right) < 0 e f\left(-1\right) > 0 . Ou seja f " muda se sinal " orá positiva e negativa . Isso significa que "c" estar entre -\sqrt{2} e -1 . Há um teorema muito legal que chama Teorema do valor Teorema do valor intermediário se você não conhece recomendo a leitura (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio) .

OBS .: Você consegue ver o gráfico de f no google ,basta pesquisar : x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

Abraços !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Sex Jun 29, 2012 11:33

Muito obrigado santiago, valeu mesmo pela ajuda consegui compreender agora!!!

Abraços!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D