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DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Ter Jun 26, 2012 10:28

Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0

Eu comecei supondo que existe um número, racional escrito como uma fração irredutivel {\left (\frac{p}{q} \right)}

Dessa forma {\left (\frac{p}{q} \right)}^{5}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{4}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{3}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{2}+1=0\Rightarrow\frac{{p}^{5}}{{q}^{5}}+\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{3}}{{q}^{3}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}+1=0

\Rightarrow\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0

\left(\frac{p}{q}+1 \right).\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)+1=0

Mas daqui em diante eu não sei o que fazer e nem sei se estou no caminho certo!

Poderiam me ajudar
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Ter Jun 26, 2012 16:38

minha ideia foi essa :

1) \forall x \in \mathbb{Q},\exists{p}\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N^*} tais que x =\frac{p}{q} .

2) Seja f uma função ,onde f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1.

A parti de 1)Concluímos que \nexists{c} \in \mathbb{Q} tal que f(c) = 0 .


Prova :

f(x) = 0 \Longrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2 +1 = \left(x^2+x^4\right)\left(x+1\right) = 0 .

x^2+x^4 > 0, \forall x \neq 0

x+1 < 0 , \forall x <-1

note que f(-2) > f(-3) > f(-4) > ....> f(n)


Conclusão , como c \in (-2,-1) ,\nexists {\frac{p}{q} } tal que \frac{p}{q} =c .


Espero que ajude ....
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Qua Jun 27, 2012 23:23

Complementando a resolução ,até porque cometi erros no " Latex" ....

washington_araujo escreveu:Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0


Seja f,g,h funções tais que g(x) = x+1 ,h(x) = x^2+x^4 e f(x) = h(x)g(x) +1

Pela definição de número racional sabemos que \forall x \in \mathbb{Q} \exists p \in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N^{*}} tais que x =\frac{p}{q} .

Vamos primeiro provar que existe um c tal que f(c) = 0 ,sabemos que c é ( real) entretanto ainda não sabemos se ele é ou não racional .

Prova :

f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1 =(x+1)(x^2+x^4)+ 1 = h(x).g(x) + 1  = 0 \iff h(x).g(x) = - 1

Como ,

h(x) > 0 ,\forall x \neq 0 e g(x) < 0 ,\forall x < - 1

Então pelo fato de f ser contínua e " mudar de sinal " para (x < -1) e(x \geq -1) , veja ,por exemplo :

f(-\sqrt{2}) < 0 e f(-1) = 1 > 0 .Ou seja,como 0 \in [f(-\sqrt{2},f(-1)] então c \in (-\sqrt{2} ,-1) . (TVI ,veja :(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio ) ,assim concluímos que \nexists \frac{p}{q} = c de modo que f tenha solução racional quando f(x) =0 .


Há de ter uma resolução melhor !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Qui Jun 28, 2012 10:40

SANTIAGO,

EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.
DESCULPA ESTAR PEDINDO MUITA EXPLICAÇÃO É QUE EU AINDA NÃO PEGUEI O JEITÃO DA COISA, MAS VALEU DESDE JÁ PELA RESOLUÇÃO JÁ ABRIU MUITO OS CAMINHOS PARA A RESOLUÇÃO DE ALGUNS OUTROS EXERCÍCIOS.
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Sex Jun 29, 2012 10:22

washington_araujo escreveu:EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.


washington araujo ,Vamos lá .

Primeiramente você sabe oque é função contínua , se não ! recomento a leitura do mesmo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... t%C3%ADnua) .

" grosso modo " ...



o que eu fiz foi escolher valores a esquerda bem próximo de - 1 tais que c pertence a este intervalo .Note que -\sqrt{2} \approx - 1,4  , f\left(-\sqrt{2}\right) < 0 e f\left(-1\right) > 0 . Ou seja f " muda se sinal " orá positiva e negativa . Isso significa que "c" estar entre -\sqrt{2} e -1 . Há um teorema muito legal que chama Teorema do valor Teorema do valor intermediário se você não conhece recomendo a leitura (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio) .

OBS .: Você consegue ver o gráfico de f no google ,basta pesquisar : x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

Abraços !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Sex Jun 29, 2012 11:33

Muito obrigado santiago, valeu mesmo pela ajuda consegui compreender agora!!!

Abraços!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.