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DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Ter Jun 26, 2012 10:28

Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0

Eu comecei supondo que existe um número, racional escrito como uma fração irredutivel {\left (\frac{p}{q} \right)}

Dessa forma {\left (\frac{p}{q} \right)}^{5}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{4}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{3}+{\left (\frac{p}{q} \right)}^{2}+1=0\Rightarrow\frac{{p}^{5}}{{q}^{5}}+\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{3}}{{q}^{3}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}+1=0

\Rightarrow\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}.\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0

\left(\frac{p}{q}+1 \right).\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)+1=0

Mas daqui em diante eu não sei o que fazer e nem sei se estou no caminho certo!

Poderiam me ajudar
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Ter Jun 26, 2012 16:38

minha ideia foi essa :

1) \forall x \in \mathbb{Q},\exists{p}\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N^*} tais que x =\frac{p}{q} .

2) Seja f uma função ,onde f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1.

A parti de 1)Concluímos que \nexists{c} \in \mathbb{Q} tal que f(c) = 0 .


Prova :

f(x) = 0 \Longrightarrow x^5+x^4+x^3+x^2 +1 = \left(x^2+x^4\right)\left(x+1\right) = 0 .

x^2+x^4 > 0, \forall x \neq 0

x+1 < 0 , \forall x <-1

note que f(-2) > f(-3) > f(-4) > ....> f(n)


Conclusão , como c \in (-2,-1) ,\nexists {\frac{p}{q} } tal que \frac{p}{q} =c .


Espero que ajude ....
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Qua Jun 27, 2012 23:23

Complementando a resolução ,até porque cometi erros no " Latex" ....

washington_araujo escreveu:Não existem soluções racionais para a equação x^5 + x^4 + x³ + x² + 1=0


Seja f,g,h funções tais que g(x) = x+1 ,h(x) = x^2+x^4 e f(x) = h(x)g(x) +1

Pela definição de número racional sabemos que \forall x \in \mathbb{Q} \exists p \in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N^{*}} tais que x =\frac{p}{q} .

Vamos primeiro provar que existe um c tal que f(c) = 0 ,sabemos que c é ( real) entretanto ainda não sabemos se ele é ou não racional .

Prova :

f(x) = x^5+x^4+x^3+x^2+1 =(x+1)(x^2+x^4)+ 1 = h(x).g(x) + 1  = 0 \iff h(x).g(x) = - 1

Como ,

h(x) > 0 ,\forall x \neq 0 e g(x) < 0 ,\forall x < - 1

Então pelo fato de f ser contínua e " mudar de sinal " para (x < -1) e(x \geq -1) , veja ,por exemplo :

f(-\sqrt{2}) < 0 e f(-1) = 1 > 0 .Ou seja,como 0 \in [f(-\sqrt{2},f(-1)] então c \in (-\sqrt{2} ,-1) . (TVI ,veja :(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio ) ,assim concluímos que \nexists \frac{p}{q} = c de modo que f tenha solução racional quando f(x) =0 .


Há de ter uma resolução melhor !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Qui Jun 28, 2012 10:40

SANTIAGO,

EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.
DESCULPA ESTAR PEDINDO MUITA EXPLICAÇÃO É QUE EU AINDA NÃO PEGUEI O JEITÃO DA COISA, MAS VALEU DESDE JÁ PELA RESOLUÇÃO JÁ ABRIU MUITO OS CAMINHOS PARA A RESOLUÇÃO DE ALGUNS OUTROS EXERCÍCIOS.
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor e8group » Sex Jun 29, 2012 10:22

washington_araujo escreveu:EU ENTENDI ATÉ A PARTE EM QUE A FUNÇÃO MUDA DE SINAL PARA (x<-1) E (x>1), MAS A PARTIR DO EXEMPLO EU NÃO ENTENDI COMO VOCÊ CHEGA A CONCLUSÃO, PODERIA EXPLICAR DE NOVO.


washington araujo ,Vamos lá .

Primeiramente você sabe oque é função contínua , se não ! recomento a leitura do mesmo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... t%C3%ADnua) .

" grosso modo " ...



o que eu fiz foi escolher valores a esquerda bem próximo de - 1 tais que c pertence a este intervalo .Note que -\sqrt{2} \approx - 1,4  , f\left(-\sqrt{2}\right) < 0 e f\left(-1\right) > 0 . Ou seja f " muda se sinal " orá positiva e negativa . Isso significa que "c" estar entre -\sqrt{2} e -1 . Há um teorema muito legal que chama Teorema do valor Teorema do valor intermediário se você não conhece recomendo a leitura (http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do ... i%C3%A1rio) .

OBS .: Você consegue ver o gráfico de f no google ,basta pesquisar : x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

Abraços !
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Re: DEMONSTRAÇÃO POR REDUÇÃO AO ABSURDO

Mensagempor washington_araujo » Sex Jun 29, 2012 11:33

Muito obrigado santiago, valeu mesmo pela ajuda consegui compreender agora!!!

Abraços!
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?