Soma de Dois Radicais Cúbicos

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Soma de Dois Radicais Cúbicos

Mensagempor sony01 » Sex Abr 27, 2012 12:10

A expressão x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} é múltiplo de 4. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matemáticamente.

Cálculo

Eu sei que: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3

x^3 = 20 + \not 14 \sqrt{2} + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^2 \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^2 + 20 - \not 14 \sqrt{2}

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{400 - 392}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

Mas, x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}, então eu posso substituir:

x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot x
x^3 = 40 + 6x
x^3 - 6x - 40 = 0
x^3 - 64 - 6x + 24 = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16) - 6(x - 4) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16 - 6) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 10)

Resolvendo (x - 4):

x - 4 = 0
x = 4

Logo, verdadeira!
Pessoal, primeiramente gostaria de saber se existe algum modo "mais fácil" de se chegar a este resultaldo, também gostaria de saber o nível dessa questão de 1 a 10 tendo como base um aluno do 9º ano.

Desde já Agradeço! :)
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3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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