Fazer a demonstração por absurdo

por **apaula** » Sex Fev 17, 2012 15:48

Não existem soluções racionais pra a equação ${x}^{5}+{x}^{4}+{x}^{3}+{x}^{2}+1=0$

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Fazendo a demonstração por absurdo foi admitida a fração $\frac{p}{q}$ irredutível q satisfaz a equação
$\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0$

$\left(\frac{p}{q}+1 \right)\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=-1$

assim:

$\left(\frac{p}{q}+1 \right)=1$ e $\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=-1$

ou

$\left(\frac{p}{q}+1 \right)=-1$ e $\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=1$

Tomando

$\left(\frac{p}{q}+1 \right)=-1$

temos que p=-2q

e ,portaanto, fração não é irreduível (é importante dizer q a fração não é irredutível?)

e depois?

por **MarceloFantini** » Sáb Fev 18, 2012 00:23

Se você tem o produto de dois números racionais que tem valor -1, não é verdade que um deles precisa ser um e outro precisa ser -1. Como um contra-exemplo simples, tome a = -2

e $b= \frac{1}{2}$ de forma que ab = -1

mas $|a| \neq 1$ e $|b| \neq 1$ . É importante lembrar que $\frac{p^4}{q^4} + \frac{p^2}{q^2}$ tem de necessariamente ser positivo, pois é soma de dois quadrados e isto jamais será negativo.