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Fazer a demonstração por absurdo

Fazer a demonstração por absurdo

Mensagempor apaula » Sex Fev 17, 2012 15:48

Não existem soluções racionais pra a equação {x}^{5}+{x}^{4}+{x}^{3}+{x}^{2}+1=0

-----------

Fazendo a demonstração por absurdo foi admitida a fração\frac{p}{q} irredutível q satisfaz a equação
\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}\left(\frac{p}{q}+1 \right)+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}\left(\frac{p}{q}+1 \right)+1=0

\left(\frac{p}{q}+1 \right)\left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=-1

assim:


\left(\frac{p}{q}+1 \right)=1 e \left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=-1

ou

\left(\frac{p}{q}+1 \right)=-1 e \left(\frac{{p}^{4}}{{q}^{4}}+\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}} \right)=1


Tomando

\left(\frac{p}{q}+1 \right)=-1

temos que p=-2q e ,portaanto, fração não é irreduível (é importante dizer q a fração não é irredutível?)

e depois?
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Re: Fazer a demonstração por absurdo

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Fev 18, 2012 00:23

Se você tem o produto de dois números racionais que tem valor -1, não é verdade que um deles precisa ser um e outro precisa ser -1. Como um contra-exemplo simples, tome a = -2 e b= \frac{1}{2} de forma que ab = -1 mas |a| \neq 1 e |b| \neq 1. É importante lembrar que \frac{p^4}{q^4} + \frac{p^2}{q^2} tem de necessariamente ser positivo, pois é soma de dois quadrados e isto jamais será negativo.
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Re: Fazer a demonstração por absurdo

Mensagempor apaula » Sáb Fev 18, 2012 21:30

ainda assim não consegui resolver.


algume ajuda?
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Re: Fazer a demonstração por absurdo

Mensagempor MarceloFantini » Seg Fev 20, 2012 01:53

Suponha que existem raízes racionais e use o teorema das raízes racionais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da ... _racionais .
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.