Simplificação de radicais

por **Andrewo** » Sáb Fev 11, 2012 12:06

Bom, tenho essas 3 expressões p/ simplificar, achei que eu já manjava bem de simplificação de radicais, mas não dei jeito de fazer, por favor, me digam como proceder.

1 - $\frac{4}{\sqrt[]{7}-\sqrt[]{3}}+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}$

Tentei fazer $\frac{4}{\sqrt[]{7}-\sqrt[]{3}}.\frac{\sqrt[]{7}+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{7}+\sqrt[]{3}}$ e com o resultado disto eu coloco $\sqrt[]{3}-\sqrt[]{7}$

A resposta pelo gabarito é : $2\sqrt[]{3}$

2 - $\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{\sqrt[]{18}}-\frac{1}{\sqrt[]{8}}$

Tentei transformar em uma diferença de quadrados $\frac{1+1-1}{(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{18})-\sqrt[]{8}}$ . $\frac{(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{18})+\sqrt[]{8}}{(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{18})+\sqrt[]{8}}$

Não deu :-P

Resposta : $\frac{5\sqrt[]{2}}{12}$

3 - $\frac{3\sqrt[]{5}+\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{5}-\sqrt[]{2}}-2\sqrt[]{10}$

Aqui eu tbm tentei fazer a mesma coisa, transformando o denominador numa diferença de quadrados mas não deu certo.

Resposta : $\frac{17-2\sqrt[]{10}}{3}$

Bom e mais uma continha aqui que não é pra simplificar mas eu gostaria que me explicassem como fazer pois tenho dificuldade quando se trata de radicais+frações

$\frac{3-\sqrt[]{3}}{3+\sqrt[]{3}} : \frac{2-\sqrt[]{3}}{2+\sqrt[]{3}}$

Resposta : $2+\sqrt[]{3}$

:y:

por **LuizAquino** » Sáb Fev 11, 2012 13:53

Andrewo escreveu:1 - $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt[]{3}}+\sqrt{3}-\sqrt{7}$

Tentei fazer $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ e com o resultado disto eu coloco $\sqrt{3}-\sqrt{7}$

O caminho é o que você tentou. Mas note que:

$\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^2 -\left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{4\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)}{4} = \sqrt{7}+\sqrt{3}$

Agora tente refazer o exercício.

Andrewo escreveu:2 - $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{18}}-\frac{1}{\sqrt{8}}$

Note que:

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{18}}-\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2\cdot 3^2}}-\frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Agora tente continuar.

Andrewo escreveu:3 - $\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-2\sqrt{10}$

Note que:

$\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3}=\frac{17 + 4\sqrt{10}}{3}$

Agora tente refazer o exercício.

Andrewo escreveu:Bom e mais uma continha aqui que não é pra simplificar mas eu gostaria que me explicassem como fazer pois tenho dificuldade quando se trata de radicais+frações

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} : \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Note que:

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} : \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$

Agora, multiplique o numerador e o denominador por $\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$ .

$\frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\cdot \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)} = \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)^2\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left[3^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]\left[2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]}$

Agora tente continuar.

por **Andrewo** » Seg Fev 13, 2012 11:42

LuizAquino escreveu:
Andrewo escreveu:Bom e mais uma continha aqui que não é pra simplificar mas eu gostaria que me explicassem como fazer pois tenho dificuldade quando se trata de radicais+frações

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} : \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Note que:

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} : \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$

Agora, multiplique o numerador e o denominador por $\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$ .

$\frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\cdot \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)} = \frac{\left(3-\sqrt{3}\right)^2\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{\left[3^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]\left[2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]}$

Agora tente continuar.

As outras eu consegui :y:

Mas essa última me confundiu pelo seguinte :

Pq eu tenho que multiplicar o numerador e o denominador por $\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$ . ???????

E continuando ali onde vc parou eu fiz o seguinte:

$\frac{(9-6\sqrt[]{3}+3)(4+4\sqrt[]{3}+3)}{((9-3)(4-3)}$ (quadrado da soma e diferença no numerador e diferença de quadrados no denominador) Tentei aplicar a distributiva disto só que o resultado não bateu.

por **LuizAquino** » Seg Fev 13, 2012 15:05

Andrewo escreveu:Mas essa última me confundiu pelo seguinte :

Pq eu tenho que multiplicar o numerador e o denominador por $\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$ . ???????

O que apareceu no denominador da fração? Ora, apareceu o termo $\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$ .

Se no denominador tivesse apenas o termo $\left(3+\sqrt{3}\right)$ , então precisaríamos multiplicar (numerador e denominador) por $\left(3-\sqrt{3}\right)$ .

Por outro lado, se no denominador tivesse apenas o termo $\left(2-\sqrt{3}\right)$ , então precisaríamos multiplicar (numerador e denominador) por $\left(2+\sqrt{3}\right)$ .

Como apareceu $\left(3+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$ , nós precisamos multiplicar (numerador e denominador) por $\left(3-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$ .

Andrewo escreveu:E continuando ali onde vc parou eu fiz o seguinte:

$\frac{\left(9-6\sqrt{3}+3\right)\left(4+4\sqrt{3}+3\right)}{(9-3)(4-3)}$ (quadrado da soma e diferença no numerador e diferença de quadrados no denominador) Tentei aplicar a distributiva disto só que o resultado não bateu.

A ideia é fazer a distributiva. Você errou alguma operação.

Note que:

$\frac{\left(9-6\sqrt{3}+3\right)\left(4+4\sqrt{3}+3\right)}{(9-3)(4-3)} = \frac{\left(12-6\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}{6} = \frac{84 + 48\sqrt{3} -42\sqrt{3} - 72}{6}$

Agora continue a partir daí.