Algebra - Fatoração

por **joserd** » Dom Jan 29, 2012 23:19

Se a+b+c=0 então $\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right)*\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right)$ .
Sei que terei que fazer a+b=-c e usar fatoração por termo comum. Me ajudem.

Será que se utilizar (a+b+c)^3 ajuda?
A resposta é 9

por **joserd** » Qua Fev 01, 2012 16:39

Ja cheguei até aqui
$\frac{{a}^{2}\left(b-c)+a({c}^{2} -{b}^{2}\right)+{b}^{2}c-b{c}^{2}}{abc}$

por **fraol** » Qua Fev 01, 2012 17:14

joserd,

Quanto a usar (a+b+c)^3

, parece que não resolve pois também vale 0.

No ponto que você chegou, para dar 9, teremos que fatorar o numerador de forma a torná-lo igual a 9abc

e também parece que não é o caso.

(vou tentar o desenvolvimento da expressão original, à noite, quando chegar em casa).

Você confirma o enunciado, não há mais informação?

E, ainda, poderia postar aqui o que já fez?

por **joserd** » Qua Fev 01, 2012 22:41

O enunciado é esse mesmo.
Postarei em breve o que já fiz
Abraços

por **LuizAquino** » Qui Fev 02, 2012 17:20

joserd escreveu:Se a+b+c=0 então $\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right)$ .

Desenvolvendo cada fator, obtemos que:

$\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} = \frac{a^2b - ab^2 + ac^2 - a^2c + b^2c - bc^2}{abc}$

$\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} = \frac{-\left(a^3 + b^3 + c^3\right) - 3abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2}{-a^2b + ab^2 - ac^2 + a^2c - b^2c + bc^2}$

Note que o numerador do primeiro fator é simétrico ao denominador do segundo fator. Desse modo, ao efetuar a multiplicação ficamos apenas com:

$-\frac{-\left(a^3 + b^3 + c^3\right) - 3abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2}{abc}$

Por hipótese, temos que a + b + c = 0.

Multiplicando essa equação por ab, obtemos que:

a^2b + ab^2 = -abc

Já se multiplicarmos por bc, obtemos que:

b^2c + bc^2 = -abc

Por fim, se multiplicarmos por ac, obtemos que:

a^2c + ac^2 = -abc

Somando-se essas três relações, obtemos que:

a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 = -3abc

Usando essa informação, podemos reescrever o resultado da multiplicação que encontramos anteriormente:

$-\frac{-\left(a^3 + b^3 + c^3\right) - 6abc}{abc}$

Usando novamente a hipótese, podemos afirmar que (a+b+c)^3 = 0

. Desenvolvendo essa equação, obtemos que:

$a^3 + c^3 + b^3 + 6abc + 3\left(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2\right) = 0$

$a^3 + c^3 + b^3 + 6abc + 3\left(-3abc\right) = 0$

$-9abc = -\left(a^3 + c^3 + b^3\right) - 6abc$

Usando essa informação, podemos reescrever o resultado da multiplicação que encontramos anteriormente:

$-\frac{-9abc}{abc}$

Realizando as simplificações, obtemos por fim o valor 9.

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