[aneis e corpos] Ajuda sobre alguns problemas

por **augusto0710** » Sex Nov 11, 2011 22:15

Olá, eu preciso resolver uma lista e fiquei com dificuldades em alguns exercícios. Espero que possam me ajudar. Sou novo no fórum, porém não quero as respostas, mas sim dicas de como seguir. Desde já obrigado.
1) Se A e B são duas partes quaisque de U, o conjunto $A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)$ é denominado diferença simétrica entre A e B.
Seja E um conjunto e consideremos sobre o conjunto P(E) das partes de E as operações de Interseção $\cap$ e de diferença simétrica $\Delta. (P(E),\Delta, \cap)$ .
Determinar todos os divisores do zero do anel $(P(E),\Delta, \cap)$ .
Bom.. todos os divisores do zero são da forma:
$X\cap Y=\emptyset ; X,Y \in P(E)$
então basta tomarmos:
$X\cap C_X=\emptyset ; X, C_X \in P(E)$ em que C_X

é o complementar de X.

Será que está certo isto?

2) Seja A um anel qualquer e $x \in A$ . Se $\exists n \in N-{0}$ tal que $x^{n}=0$ dizemos que o elemento x é nilpotente.
a) Dê exemplos de uma infinidade de elementos nilpotentes em um anel não comutativo.
essa eu pensei no anel das matrizes de ordem nxn.
$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ; A \in M_3(R) \Rightarrow A^n= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ; n\geq 3$

b) Prove que se $x, y \in A$ são elementos nilpotentes de A e $x\cdot y=y\cdot x$ então $x \pm y$ é um elemento nilpotente de A.
Esse não consegui pensar em quase nada. Talvez em elevar a soma a algum n. Por favor dêem-me uma dica.

c) Mostre com um exemplo que a hipótese $x\cdot y=y\cdot x$ é essencial em (b).
esse depende do b então aguardo.

d) Seja x um elemento nilpotente em A. Mostre que, se A possui unidade $1 \in A$ então o elemento 1-x

possui inverso multiplicativo (calcule uma fórmula para esse inverso).
Para possuir um inverso multiplicativo temos:
$(1-x)\cdot y=1$ .
agora temos que achar o y. esse é o problema. Alguém sugere algo?

3) Prove que se A é um anel de divisão então Z(A) é um corpo.
Esse pensei em mostrar que Z(A) é um anel de divisão comutativo, portanto um corpo. está certo isso?

4) Calcule End(Z[i]) e Aut(Q[i]).
sem muitas ideias.

5)Seja A um anel com unidade $1 \in A$ e suponhamos que $\exists 0\neq e \in A$ tal que $e^{2}=e$ (e diz-se um elemento idempotente de A). Se $A_1=A\cdot e={a\cdot e: a \in A}$ e se $A_2=A\cdot (1-e)={a-ae: a \in A}$ , então prove que:
a) A_1

e

são subaneis de A tais que $A_1\cap A_2={0}$ .
sem muitas ideias.

b) $A=A_1\oplus A_2$ (isto é, $\forall a \in A \exists ! a_1 \in A_1 e a_2\in A_2$ tais que a=a_1+a_2