Dízimas Periódicas - Indução

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Dízimas Periódicas - Indução

Mensagempor m0x0 » Seg Set 12, 2011 17:10

Boas a todos,

Estou perante uma dúvida de como provar o seguinte por indução:

Mostrar que \frac{1}{{10}^{n}+1} tem expansão puramente periódica com período 2n.

Como {10}^{n}+1 nunca é divisível nem por 2 nem por 5, temos n=2^{s}5^{r}t=2^{0}5^{0}t=t então estamos perante uma dízima puramente periódica.

Para demonstrar que o período é k=2n, penso que por indução se possa calcular:

Caso base:

Temos que P(1): \frac{1}{{10}^{1}+1}=\frac{1}{11}=0,(09), ou seja, período 2.

Temos que P(2): \frac{1}{{10}^{2}+1}=\frac{1}{101}=0,(0099), ou seja, período 4.

Temos que P(3): \frac{1}{{10}^{3}+1}=\frac{1}{1001}=0,(000999), ou seja, período 6.

etc...

Passo de Indução:

P(k)=>P(k+1)

Temos que: P(k+1)=\frac{1}{{10}^{k+1}+1}=\frac{1}{10^{k}10^{1}+1}

A minha dúvida é passar daqui e provar que tem período sempre k=2n (pelos exemplos vemos que sim, mas falta a prova).

Se alguém me puder ajudar agradecia.

Abraço!
m0x0
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.

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