Dízimas Periódicas - Indução

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Dízimas Periódicas - Indução

Mensagempor m0x0 » Seg Set 12, 2011 17:10

Boas a todos,

Estou perante uma dúvida de como provar o seguinte por indução:

Mostrar que \frac{1}{{10}^{n}+1} tem expansão puramente periódica com período 2n.

Como {10}^{n}+1 nunca é divisível nem por 2 nem por 5, temos n=2^{s}5^{r}t=2^{0}5^{0}t=t então estamos perante uma dízima puramente periódica.

Para demonstrar que o período é k=2n, penso que por indução se possa calcular:

Caso base:

Temos que P(1): \frac{1}{{10}^{1}+1}=\frac{1}{11}=0,(09), ou seja, período 2.

Temos que P(2): \frac{1}{{10}^{2}+1}=\frac{1}{101}=0,(0099), ou seja, período 4.

Temos que P(3): \frac{1}{{10}^{3}+1}=\frac{1}{1001}=0,(000999), ou seja, período 6.

etc...

Passo de Indução:

P(k)=>P(k+1)

Temos que: P(k+1)=\frac{1}{{10}^{k+1}+1}=\frac{1}{10^{k}10^{1}+1}

A minha dúvida é passar daqui e provar que tem período sempre k=2n (pelos exemplos vemos que sim, mas falta a prova).

Se alguém me puder ajudar agradecia.

Abraço!
m0x0
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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