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por m0x0 » Qui Jul 21, 2011 16:02
Boa tarde,
Tenho uma dúvida num exercício que não consigo resolver, se alguém me puder ajudar agradecia.
O exercício é o seguinte:
Provar que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)
Penso que se pode resolver por indução mas não consigo resolver uma vez que não consigo encontrar o final da sucessão para 0+1+5+14+30+55+...+ ?????? = [n*(2n-1)*(n-1)]/6
O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:
1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6
Obrigado.
Artur Benitez
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m0x0
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por LuizAquino » Qui Jul 21, 2011 17:12
m0x0 escreveu:O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:
1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6
Note que nesse exercício trocando n por n - 1 obtemos:
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LuizAquino
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por m0x0 » Qui Jul 21, 2011 20:19
Mas os valores que dão para [n(2n-1)(n-1)]/6 são: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???
0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n-1)(n-1)]/6
Ok, vi mal, os valores para [n(2n+1)(n+1)]/6 são também: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???
0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n+1)(n+1)]/6
Trata-se então da mesma sucessão. Mas não consigo entender qual é o P(n)
A não ser que não se consiga provar por indução matemática?
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m0x0
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por Guill » Qui Jul 21, 2011 22:44
Farei de uma forma diferente:
n.(n - 1).(2n - 1)
Existem dois tipos de números:
Pares = 2x
Ímpares = 2x + 1
Considere primeiro que n é par que não pode ser dividido por três(se pudesse já estaria provado):
2x.(2x - 1).(2.2x - 1)
2x.(2x - 1).(4x - 1)
2x.(2x - 1).(2x + 2x - 1)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será. Se for o seu antescessor, já está provado para os pares. Se for o seu suscessor:
(2x + 2x - 1) ---> vamos pensar nesse número.
2x ---> Não é múltiplo de 3
2x - 1---> não é múltiplo de três
2x + 1 ---> é multiplo de 3
Portanto:
2x - 2 é múltiplo de 3 (pois 2x - 2 + 3 = 2x + 1)
2x + 1 = 3a
2x - 2 = 3b
[2x + 2x - 1]
[(2x - 2 + 2) + 2x - 1]
[2x - 2 + 2x + 1]
3a + 3b = 3(a + b)
Sendo assim, quando n for par, n.(n - 1).(2n - 1) será divisível por 6.
Considere n um número ímpar:
n.(n - 1).(2n - 1)
(2x + 1).((2x + 1 - 1).(2(2x + 1) - 1)
(2x + 1)(2x)(4x + 1)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3. Se considerar seu antecessor, já está provado. Para o sucessor:
(2x + 1) ---> não é múltiplo de 3
2x ---> não é múltiplo de 3
(2x + 2) ---> é múltiplo de 3
Portanto 2x - 1 é multiplo de 3:
(2x + 2) = 3a
2x - 1 = 3b
(4x + 1)
(2x + 2x + 1)
[(2x - 2 + 2) + 2x + 1]
[2x + 2 + 2x - 1] = 3a + 3b = 3(a + b)
Provamos para os ímpares.
Editado pela última vez por
Guill em Qui Jul 21, 2011 23:06, em um total de 1 vez.
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Guill
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por LuizAquino » Qui Jul 21, 2011 22:55
É possível fazer por indução.
Temos que provar que 6 divide n(2n-1)(n-1), com n um natural.
Aqui eu vou considerar que os naturais começam com o 1. Se você está considerando que começa com o 0, então você deve adaptar a primeira parte da prova.
Primeiro passoÉ válido para n = 1 que 6 divide
.
Segundo passoSuponha que é válido para n que 6 divide n(2n-1)(n-1).
Terceiro passoVamos provar que é válido para n+1 que 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1].
Note que (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1] = n(2n-1)(n-1) + 6n². (Desenvolvendo cada membro dessa equação é fácil verificar que isso é verdadeiro.)
Ora, como por hipótese 6 divide n(2n-1)(n-1) e sabemos que 6 divide 6n², temos que 6 divide a soma n(2n-1)(n-1) + 6n².
Portanto, 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
#
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por LuizAquino » Sex Jul 22, 2011 00:48
Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.
(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.
A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:
Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.
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LuizAquino
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por Guill » Sex Jul 22, 2011 08:41
LuizAquino escreveu:Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.
(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.
A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:
Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.
Isso é obvio:
Se eu tenho 3 números em sequência, um deles deve ser divisível por 3. Vou provar isso:
Seja x um número:
A sua sequencia é = {...; x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2 ...}
Coloquei 5 números à vista. Sabemos que os múltiplos de três aparecem de 3 em 3. Portanto, é impossivel 'não' existir um número múltiplo de 3 dentro desses 5 apresentados.
S = {x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2} (pelo menos um deles é divisível por 3)
Vamos considerar que x não é múltiplo de 3. Isso implica dizer que {x - 2 ; x - 1 ; x + 1 ; x + 2} são múltiplos de 3 (não todos).
1º - Se x - 2 é múltiplo de 3 o próximo múltiplo é:
(x - 2) + 3 = (x + 1)
2º - Se x + 2 é múltiplo de 3, o anterior a esse foi:
(x + 2) - 3 = (x - 1)
Dessa forma, mostramos que seu antecessor ou seu sucessor são múltiplos de 3 desde que x não seja.
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por LuizAquino » Sex Jul 22, 2011 10:05
Olá Guill,
Agora você completou o exercício.
Precisamos apenas reescrever a sua primeira afirmação.
Note que {1, 4, 7} são "3 números em sequência" (no caso, uma p. a. de razão 3), mas nenhum deles é divisível por 3.
Vamos então reescrever a sua afirmação para algo como:
"Se eu tenho 3 números naturais consecutivos, um deles deve ser divisível por 3."
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LuizAquino
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por m0x0 » Sáb Jul 23, 2011 14:23
Boas,
Obrigado a todos pela ajuda!
Já agora, alguém sabe de algum link para uma boa sebenta/apostila ou exercícios resolvidos de Teoria dos Anéis (Subanéis, Ideais, Geradores de Ideais, Domínios de Integridade e Corpos)?
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Trigonometria
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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