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Dúvida de Exercício

Dúvida de Exercício

Mensagempor m0x0 » Qui Jul 21, 2011 16:02

Boa tarde,

Tenho uma dúvida num exercício que não consigo resolver, se alguém me puder ajudar agradecia.

O exercício é o seguinte:

Provar que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)

Penso que se pode resolver por indução mas não consigo resolver uma vez que não consigo encontrar o final da sucessão para 0+1+5+14+30+55+...+ ?????? = [n*(2n-1)*(n-1)]/6

O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:

1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6

Obrigado.

Artur Benitez
m0x0
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor LuizAquino » Qui Jul 21, 2011 17:12

m0x0 escreveu:O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:

1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6


Note que nesse exercício trocando n por n - 1 obtemos:

1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 = \frac{(n-1)[2(n-1)+1][(n-1)+1]}{6} = \frac{(n-1)(2n-1)n}{6}
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor m0x0 » Qui Jul 21, 2011 20:19

Mas os valores que dão para [n(2n-1)(n-1)]/6 são: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???

0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n-1)(n-1)]/6

Ok, vi mal, os valores para [n(2n+1)(n+1)]/6 são também: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???

0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n+1)(n+1)]/6

Trata-se então da mesma sucessão. Mas não consigo entender qual é o P(n)

A não ser que não se consiga provar por indução matemática?
m0x0
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor Guill » Qui Jul 21, 2011 22:44

Farei de uma forma diferente:

n.(n - 1).(2n - 1)


Existem dois tipos de números:

Pares = 2x
Ímpares = 2x + 1


Considere primeiro que n é par que não pode ser dividido por três(se pudesse já estaria provado):

2x.(2x - 1).(2.2x - 1)

2x.(2x - 1).(4x - 1)

2x.(2x - 1).(2x + 2x - 1)

Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será. Se for o seu antescessor, já está provado para os pares. Se for o seu suscessor:

(2x + 2x - 1) ---> vamos pensar nesse número.

2x ---> Não é múltiplo de 3
2x - 1---> não é múltiplo de três
2x + 1 ---> é multiplo de 3


Portanto:

2x - 2 é múltiplo de 3 (pois 2x - 2 + 3 = 2x + 1)

2x + 1 = 3a
2x - 2 = 3b

[2x + 2x - 1]

[(2x - 2 + 2) + 2x - 1]

[2x - 2 + 2x + 1]

3a + 3b = 3(a + b)


Sendo assim, quando n for par, n.(n - 1).(2n - 1) será divisível por 6.


Considere n um número ímpar:

n.(n - 1).(2n - 1)

(2x + 1).((2x + 1 - 1).(2(2x + 1) - 1)

(2x + 1)(2x)(4x + 1)


Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3. Se considerar seu antecessor, já está provado. Para o sucessor:

(2x + 1) ---> não é múltiplo de 3
2x ---> não é múltiplo de 3
(2x + 2) ---> é múltiplo de 3


Portanto 2x - 1 é multiplo de 3:

(2x + 2) = 3a
2x - 1 = 3b


(4x + 1)

(2x + 2x + 1)

[(2x - 2 + 2) + 2x + 1]

[2x + 2 + 2x - 1] = 3a + 3b = 3(a + b)


Provamos para os ímpares.
Editado pela última vez por Guill em Qui Jul 21, 2011 23:06, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor LuizAquino » Qui Jul 21, 2011 22:55

É possível fazer por indução.

Temos que provar que 6 divide n(2n-1)(n-1), com n um natural.

Aqui eu vou considerar que os naturais começam com o 1. Se você está considerando que começa com o 0, então você deve adaptar a primeira parte da prova.

Primeiro passo
É válido para n = 1 que 6 divide 1\cdot (2\cdot 1 - 1)\cdot (1 - 1) = 0 .

Segundo passo
Suponha que é válido para n que 6 divide n(2n-1)(n-1).

Terceiro passo
Vamos provar que é válido para n+1 que 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1].

Note que (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1] = n(2n-1)(n-1) + 6n². (Desenvolvendo cada membro dessa equação é fácil verificar que isso é verdadeiro.)

Ora, como por hipótese 6 divide n(2n-1)(n-1) e sabemos que 6 divide 6n², temos que 6 divide a soma n(2n-1)(n-1) + 6n².

Portanto, 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor LuizAquino » Sex Jul 22, 2011 00:48

Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.

(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.


A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:

Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor Guill » Sex Jul 22, 2011 08:41

LuizAquino escreveu:
Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.

(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.


A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:

Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.



Isso é obvio:

Se eu tenho 3 números em sequência, um deles deve ser divisível por 3. Vou provar isso:


Seja x um número:

A sua sequencia é = {...; x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2 ...}

Coloquei 5 números à vista. Sabemos que os múltiplos de três aparecem de 3 em 3. Portanto, é impossivel 'não' existir um número múltiplo de 3 dentro desses 5 apresentados.

S = {x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2} (pelo menos um deles é divisível por 3)


Vamos considerar que x não é múltiplo de 3. Isso implica dizer que {x - 2 ; x - 1 ; x + 1 ; x + 2} são múltiplos de 3 (não todos).


1º - Se x - 2 é múltiplo de 3 o próximo múltiplo é:

(x - 2) + 3 = (x + 1)



2º - Se x + 2 é múltiplo de 3, o anterior a esse foi:

(x + 2) - 3 = (x - 1)



Dessa forma, mostramos que seu antecessor ou seu sucessor são múltiplos de 3 desde que x não seja.
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor LuizAquino » Sex Jul 22, 2011 10:05

Olá Guill,

Agora você completou o exercício. :)

Precisamos apenas reescrever a sua primeira afirmação.

Note que {1, 4, 7} são "3 números em sequência" (no caso, uma p. a. de razão 3), mas nenhum deles é divisível por 3.

Vamos então reescrever a sua afirmação para algo como:

"Se eu tenho 3 números naturais consecutivos, um deles deve ser divisível por 3."
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Re: Dúvida de Exercício

Mensagempor m0x0 » Sáb Jul 23, 2011 14:23

Boas,

Obrigado a todos pela ajuda! :)

Já agora, alguém sabe de algum link para uma boa sebenta/apostila ou exercícios resolvidos de Teoria dos Anéis (Subanéis, Ideais, Geradores de Ideais, Domínios de Integridade e Corpos)?
m0x0
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D