• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Prova por redução ao absurdo

Prova por redução ao absurdo

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Jun 10, 2011 21:34

Fala, galera. Parei no meio desse exercício, gostaria que alguém desse uma ajuda.

Provar por redução ao absurdo que:

Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0

Inicialmente, eu supus que axiste um número racional, escrito como uma fração irredutível \left(\frac{p}{q}\right)

Dessa forma: \left(\frac{p}{q}\right)^5+\left(\frac{p}{q}\right)^4+\left(\frac{p}{q}\right)^3+\left(\frac{p}{q}\right)^2+\left(\frac{p}{q}\right)+1=0 \Rightarrow \frac{p^5}{q^5} +\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^3}{q^3} +\frac{p^2}{q^2} +\frac{p}{q} +1=0

\Rightarrow \frac{p^4}{q^4}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\frac{p^2}{q^2}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\left(\frac{p}{q} +1\right)=0

\left(\frac{p}{q} +1\right).\left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0

Dessa maneira:

\left(\frac{p}{q} +1\right)=0 ou \left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0

Para \left(\frac{p}{q} +1\right)=0, temos que p=-q, o que é um absurdo, pois, dessa maneira, \left(\frac{p}{q}\right) não é uma fração indivisível.

O problema é mostrar que para \left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0, a fração \left(\frac{p}{q}\right) também não é divisível, para que eu consiga terminar a demonstração.

Agradeço desde já!
Aliocha Karamazov
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 90
Registrado em: Qua Mar 16, 2011 17:26
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: cursando

Re: Prova por redução ao absurdo

Mensagempor Guill » Sáb Jul 23, 2011 22:35

Use o método da substituicão:

x=\left(\frac{p}{q} \right)^2


A equacão:

\left(\frac{p}{q} \right)^4 + \left(\frac{p}{q} \right)^2 + 1 = 0


Substituindo:

x^2+x+1=0

x = \frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}
x = \frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}



Pela substituicão:

x=\left(\frac{p}{q} \right)^2


\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}}
\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}}


Isso é um absurdo. Portanto não existem raízes reais.
Avatar do usuário
Guill
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 107
Registrado em: Dom Jul 03, 2011 17:21
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: cursando


Voltar para Álgebra Elementar

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 12 visitantes

 



Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.