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Prova por redução ao absurdo

Prova por redução ao absurdo

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Jun 10, 2011 21:34

Fala, galera. Parei no meio desse exercício, gostaria que alguém desse uma ajuda.

Provar por redução ao absurdo que:

Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0

Inicialmente, eu supus que axiste um número racional, escrito como uma fração irredutível \left(\frac{p}{q}\right)

Dessa forma: \left(\frac{p}{q}\right)^5+\left(\frac{p}{q}\right)^4+\left(\frac{p}{q}\right)^3+\left(\frac{p}{q}\right)^2+\left(\frac{p}{q}\right)+1=0 \Rightarrow \frac{p^5}{q^5} +\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^3}{q^3} +\frac{p^2}{q^2} +\frac{p}{q} +1=0

\Rightarrow \frac{p^4}{q^4}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\frac{p^2}{q^2}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\left(\frac{p}{q} +1\right)=0

\left(\frac{p}{q} +1\right).\left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0

Dessa maneira:

\left(\frac{p}{q} +1\right)=0 ou \left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0

Para \left(\frac{p}{q} +1\right)=0, temos que p=-q, o que é um absurdo, pois, dessa maneira, \left(\frac{p}{q}\right) não é uma fração indivisível.

O problema é mostrar que para \left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0, a fração \left(\frac{p}{q}\right) também não é divisível, para que eu consiga terminar a demonstração.

Agradeço desde já!
Aliocha Karamazov
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Re: Prova por redução ao absurdo

Mensagempor Guill » Sáb Jul 23, 2011 22:35

Use o método da substituicão:

x=\left(\frac{p}{q} \right)^2


A equacão:

\left(\frac{p}{q} \right)^4 + \left(\frac{p}{q} \right)^2 + 1 = 0


Substituindo:

x^2+x+1=0

x = \frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}
x = \frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}



Pela substituicão:

x=\left(\frac{p}{q} \right)^2


\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}}
\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}}


Isso é um absurdo. Portanto não existem raízes reais.
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Guill
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: