Prova por redução ao absurdo

por **Aliocha Karamazov** » Sex Jun 10, 2011 21:34

Fala, galera. Parei no meio desse exercício, gostaria que alguém desse uma ajuda.

Provar por redução ao absurdo que:

Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0

Inicialmente, eu supus que axiste um número racional, escrito como uma fração irredutível $\left(\frac{p}{q}\right)$

Dessa forma: $\left(\frac{p}{q}\right)^5+\left(\frac{p}{q}\right)^4+\left(\frac{p}{q}\right)^3+\left(\frac{p}{q}\right)^2+\left(\frac{p}{q}\right)+1=0 \Rightarrow \frac{p^5}{q^5} +\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^3}{q^3} +\frac{p^2}{q^2} +\frac{p}{q} +1=0$

$\Rightarrow \frac{p^4}{q^4}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\frac{p^2}{q^2}.\left(\frac{p}{q} +1\right) +\left(\frac{p}{q} +1\right)=0$

$\left(\frac{p}{q} +1\right).\left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0$

Dessa maneira:

$\left(\frac{p}{q} +1\right)=0$ ou $\left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0$

Para $\left(\frac{p}{q} +1\right)=0$ , temos que p=-q

, o que é um absurdo, pois, dessa maneira, $\left(\frac{p}{q}\right)$ não é uma fração indivisível.

O problema é mostrar que para $\left(\frac{p^4}{q^4} +\frac{p^2}{q^2} +1\right)=0$ , a fração $\left(\frac{p}{q}\right)$ também não é divisível, para que eu consiga terminar a demonstração.

Agradeço desde já!

por **Guill** » Sáb Jul 23, 2011 22:35

Use o método da substituicão:

$x=\left(\frac{p}{q} \right)^2$

A equacão:

$\left(\frac{p}{q} \right)^4 + \left(\frac{p}{q} \right)^2 + 1 = 0$

Substituindo:

x^2+x+1=0

x = $\frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}$
x = $\frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}$

Pela substituicão:

$x=\left(\frac{p}{q} \right)^2$

$\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1-\sqrt[]{3}i}{2}}$
$\frac{p}{q}=\sqrt[]{\frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2}}$

Isso é um absurdo. Portanto não existem raízes reais.

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