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Indução Matemática

Indução Matemática

Mensagempor Abelardo » Qui Mar 31, 2011 03:04

Essa questão retirei de um livro de aritmética elementar. Se n for um número natural, demonstre que {3}^{2n+2}-{2}^{n+1} é divisível por 7.

Para p(1) terei que {3}^{2x2+2}-{2}^{1+1} é igual a \frac{77}{7};

Por hipótese de indução p(k)tenho que {3}^{2k+2}-{2}^{k+1} é divisível por 7. Agora provo que p(k+1) é divisível por 7.

p(k+1) \Rightarrow \frac{{3}^{2k+4}-{2}^{k+2}}{7} \Rightarrow \frac{{3}^{2k+2}.9 -{2}^{k+1}.2}{7}.

Para facilitar, chamei {3}^{2k+2} de \theta e {2}^{k+1} de \Phi.

\frac{9\Theta-2\Phi}{7} \Rightarrow \frac{(8+1)\Theta- (1+1)\Phi}{7} \Rightarrow \frac{8\Theta+1\Theta-\Phi-\Phi}{7}

\Rightarrow        \frac{8\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{(7+1)\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{7\Theta+(\Theta-\Phi)+(\Theta-\Phi)}{7}



\frac{7\Theta}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7}.

Pela hipótese de indução \Theta-\Phi={3}^{2k+2}-{2}^{k+1} é divísel por 7 e {7\Theta é divisível por 7. Como no livro não há ''resposta'' para as questões sobre indução, vocês poderiam analisar e ''apontar'' os erros presentes?
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Re: Indução Matemática

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 31, 2011 11:27

Basicamente, como todo aluno que inicia o estudo em técnicas de demonstração, lhe faltou organização. Além disso, você escreveu expressões não condizentes. Por exemplo, {3}^{2\cdot 1+2}-{2}^{1+1} não é igual a \frac{77}{7}.

Abelardo escreveu:Para p(1) terei que {3}^{2x2+2}-{2}^{1+1} é igual a \frac{77}{7};

"Para p(1) terei que" {3}^{2\cdot 1+2}-{2}^{1+1} "é igual a 77". O qué divisível por 7.

(...)

Abelardo escreveu:p(k+1) \Rightarrow \frac{{3}^{2k+4}-{2}^{k+2}}{7} \Rightarrow \frac{{3}^{2k+2}.9 -{2}^{k+1}.2}{7}

p(k+1) \Rightarrow {3}^{2k+4}-{2}^{k+2} \Rightarrow {3}^{2k+2}\cdot 9 - {2}^{k+1}\cdot 2

(...)

Abelardo escreveu:Para facilitar, chamei {3}^{2k+2} de \theta e {2}^{k+1} de \Phi.

\frac{9\Theta-2\Phi}{7} \Rightarrow \frac{(8+1)\Theta- (1+1)\Phi}{7} \Rightarrow \frac{8\Theta+1\Theta-\Phi-\Phi}{7}

\Rightarrow \frac{8\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{(7+1)\Theta-\Phi+(\Theta-\Phi)}{7} \Rightarrow \frac{7\Theta+(\Theta-\Phi)+(\Theta-\Phi)}{7}

\frac{7\Theta}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7} + \frac{\Theta-\Phi}{7}

"Para facilitar, chamei {3}^{2k+2} de" \Theta.

9\Theta-2\Phi \Rightarrow (7+2)\Theta - 2\Phi \Rightarrow 7\Theta+2(\Theta-\Phi)

Como 7 divide 7\Theta e pela hipótese de indução 7 divide \Theta-\Phi, então 7 divide a soma 7\Theta+2(\Theta-\Phi).
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.