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Inequação Modular (Dúvida)

Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Ter Mar 22, 2011 23:33

Como faço para resolver esta inequação sem o método de elevar ambos os lados ao quadrado?

|x-2|<|x+1|

Sempre que tento resolver acabo cancelando a variável x em ambos os lados.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor MarceloFantini » Qua Mar 23, 2011 00:08

Tente passar |x+1| para o outro lado, avalie onde cada módulo é positivo e negativo e trabalhe com cada caso.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 00:58

Fantini,

Passei (x+1) para o outro lado, mas dá no mesmo. Continuo anulando a variável x.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor MarceloFantini » Qua Mar 23, 2011 01:00

Você não fez a avaliação que eu comentei. Existe um caso onde x não se anula.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 01:29

Valeu, Fantini.

Analisei os casos restantes e cheguei perto do resultado. Por que perto do resultado? Porque, pelos meus cálculos, eu tenho uma condição que me diz que x<2.

|x-2| = -x+2, se x-2<0 <--> x<2

O resultado correto da questão seria: S=\left(\frac{1}{2};+\infty \right)

Com a condição citada eu cheguei em S=\left(\frac{1}{2};2 \right)

Onde é que eu tô fazendo a confusão???????
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 23, 2011 08:32

Analise o sinal dos termos (x+1) e (x-2) como já havia sido dito.
inequacao-modular.png
inequacao-modular.png (3.06 KiB) Exibido 10401 vezes


Desse modo, a inequação |x-2|<|x+1| gera tem 3 inequações:
(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.

Resolva cada uma das inequações e em seguida tome a união das soluções.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 11:02

Luiz,

Eu estou resolvendo cada um dos casos, mas sempre chego em S=\left(\frac{1}{2};2 \right) por causa das condições.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 23, 2011 11:23

|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1
S1 = (-\infty,\,-1)\cap \varnothing = \varnothing

(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2
S2 = [-1,\, 2)\cap \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right) = \left(\frac{1}{2},\, 2\right)

(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)

Solução final:
S = S1 \cup S2 \cup S3 = \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right)
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 11:31

LuizAquino escreveu:(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)


Era sempre nessa parte que eu encalhava. Eu achava que por ficar sem uma variável x na resolução do problema, ele não tinha solução.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 23, 2011 12:10

Vale a pena enxergar a interpretação geométrica dessa inequação modular.

Se f(x)=|x-2| e g(x)=|x+1|, você quer saber quando que f(x)<g(x). Ou seja, quando o gráfico da função f está abaixo do gráfico da função g. A figura abaixo ilustra essa situação.

graficos-funcoes-modulares.png
graficos-funcoes-modulares.png (4.54 KiB) Exibido 10395 vezes
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 17:05

LuizAquino escreveu:|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1
S1 = (-\infty,\,-1)\cap \varnothing = \varnothing

(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2
S2 = [-1,\, 2)\cap \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right) = \left(\frac{1}{2},\, 2\right)

(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)

Solução final:
S = S1 \cup S2 \cup S3 = \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right)



LuizAquino,

Uma última dúvida: Por que você não aprensentou também o caso em que: |x-2|\geq0 e |x+1|<0 ??
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 17:06

Foi porque, de cara, uma condição anula a outra?
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 23, 2011 17:19

Basta interpretar a análise dos sinais que fiz anteriormente e você deve perceber que temos que nos preocupar apenas com três casos:
(i) Quando x < -1.
(ii) Quando -1 <= x < 2.
(iii) Quando x >= 2.
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Re: Inequação Modular (Dúvida)

Mensagempor renanrdaros » Qua Mar 23, 2011 17:36

Foi o que eu quis dizer. Se eu fosse analisar um quarto caso ficaria:

(iv) x\geq2 e x<-1

Uma condição estaria anulando a outra.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)