Álgebra: congruencias

por **Caeros** » Sáb Mar 19, 2011 18:34

Estou estudando o material que postei neste fórum e tenho algumas dúvidas:

Mostre que ${x}^{2}+1\equiv0(mod8)$ não tem soluções:
Solução:
Para qualquer que seja x inteiro, temos:
x $\equiv$ 0,1,2,3,4,5,6,7(mod8) $\Rightarrow$ aqui entendo que é aplicada a propriedade que diz: "Sabemos que a $\equiv$ b(modm) $\Leftrightarrow$ a = b+mk, para algum k $\in$ Z. Neste
caso b coincidirá com o resto da divisão euclidiana de "a " por "m ",se e somente, $0 \:\leq \:b\: <\: m$ "

logo,

${x}^{2}\:\equiv\:0,1,4,9,16,25,36,49(mod8)$ $\Rightarrow$ aqui compreendo que foi aplicada a

propriedade que diz: " ${a}^{n}\:\equiv\:{b}^{n}(mod\:m)$

Daí,

${x}^{2}+1\equiv\:1,3,7,5,5,7,3,1(mod8)$ $\Rightarrow$ já aqui não consigo compreender qual propriedade foi aplicada ou como chegou a estes valores???? :?:

continuando:

Ou melhor

${x}^{2}+1\equiv\:1,3,5,7(mod8)$ :arrow:

como não entendi anteriormente não entendi como estes valores provam a insolubilidade!!! :?:

O que garante a insolubilidade de ${x}^{2}+1\equiv0(mod8)$

por **Renato_RJ** » Sáb Mar 19, 2011 20:56

Eu não consegui chegar neste resultado, veja o que eu fiz:

$x^2 + 1 \equiv 0 (mod 8)$

Mas montando as classes de equivalência módulo 8 ou sistema completo de resto módulo 8 para x teremos:

$x = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

Fazendo x^2

e usando a propriedade já citada, teremos:

$x^2 = \{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$

Como estamos trabalhando com as classes de resto, teremos:

$9 \equiv 1 (mod 8) \, \textrm{,} \, 16 \equiv 0 (mod 8) \, \textrm{,} \, 25 \equiv 1 (mod 8) \, \textrm{,} \, 36 \equiv 4 (mod 8) \, \textrm{e} \, 49 \equiv 1 (mod 8)$

Logo teremos:

$x^2 = \{0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1\} \, \textrm{mas} \, 1 \equiv 1 (mod 8) \Rightarrow \, x^2 + 1 = \{1, 2, 5, 2, 1, 2, 5, 2\}$

Então teremos:

$x^2 + 1 \equiv 1, 2, 5 (mod 8)$

Aqui você percebe que não há solução para $x^2 + 1 \equiv 0 (mod 8)$ , pois o resto da divisão será 1, 2 ou 5...

Não sei se estou certo, mas pela lógica, parece que sim... Se estou errando em algum lugar, gostaria de saber a onde (fiquei curioso)...

por **Renato_RJ** » Sáb Mar 19, 2011 22:57

Esse seu caso me lembrou a seguinte demonstração:

Provar que, qualquer que seja o inteiro ímpar a, o resto da divisão de a^2

por 8 é 1.

Solução:

Os restos possíveis da divisão de a por 8 são 1, 3, 5 ou 7 (chamamos isso de sistema reduzido de resíduo módulo 8, pois só estão nele os restos relativamente primos a 8).

Logo:

$a \equiv 1, 3, 5, 7 (mod 8)$

$a^2 \equiv 1, 9, 25, 49 (mod 8)$

Como $9 \equiv 1 (mod 8) \, \textrm{,} \, 25 \equiv 1 (mod 8) \, \textrm{e} \, 49 \equiv 1 (mod 8)$ teremos:

$a^2 = 1, 1, 1, 1 (mod 8) \Rightarrow \, a^2 \equiv 1 (mod 8)$

[ ]'s
Renato.

por **Caeros** » Dom Mar 20, 2011 00:38

Olá Renato, obrigado por colaborar,mas quem quer saber tem que perguntar:
estou começando a estudar este assunto, então vou lhe perguntar:
1) O que vc está dizendo com "classes de equivalência módulo 8"? sei que congruência é uma relação de equivalência, então vc está dizendo que x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} é o conjunto dos restos que se podem ter na divisão por 8 ou os valores que x pode assumir? Quer dizer estes números se relacionam com 8 por ser os retos relacionados a ele na divisão?

2) e o sistema completo de resto módulo 8 para x, então este é o conjunto de números que podem ser restos?

3) de onde saiu ${x}^{2}+1\equiv\:1,3,7,5,5,7,3,1(mod8)$ ? na resposta que postei pois tirei do material e se estiver errado tenho que corrigir a fonte ou seja onde consegui o material.
Mais uma vez obrigado está me ajudando bastante. :y:

por **Renato_RJ** » Dom Mar 20, 2011 03:27

Caeros escreveu:Olá Renato, obrigado por colaborar,mas quem quer saber tem que perguntar:
estou começando a estudar este assunto, então vou lhe perguntar:
1) O que vc está dizendo com "classes de equivalência módulo 8"? sei que congruência é uma relação de equivalência, então vc está dizendo que x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} é o conjunto dos restos que se podem ter na divisão por 8 ou os valores que x pode assumir? Quer dizer estes números se relacionam com 8 por ser os retos relacionados a ele na divisão?

Caeros, concordo plenamente, se deseja saber tem mais é que perguntar !!!
Lembre-se que estamos tratando de divisão pelo algoritmo de Euclides, isto é, x = 8k + r, onde r é o resto.. As classes de equivalência na verdade são o que chamamos de partições, elas representam os restos das divisões por 8 (neste caso) então cada classe dessa é um conjunto separado, veja:
Quando falamos de classe 0, por exemplo, estamos falando de todos os números inteiros cuja a divisão por 8 dá resto zero, então 0 = {...,8,16,32,48,..} e quando falamos de classe 1 estamos falando do conjunto dos números inteiros cuja a divisão por 8 dá resto 1, então 1 = {...,9,17,33,49,..}.

Caeros escreveu:2) e o sistema completo de resto módulo 8 para x, então este é o conjunto de números que podem ser restos?

Exatamente, como eu disse anteriormente... Classe 3 significa todos os inteiros cuja a divisão por 8 tenha resto 3, então 3 = {...,11,19,35,51,..}.

Caeros escreveu:3) de onde saiu ${x}^{2}+1\equiv\:1,3,7,5,5,7,3,1(mod8)$ ? na resposta que postei pois tirei do material e se estiver errado tenho que corrigir a fonte ou seja onde consegui o material.
Mais uma vez obrigado está me ajudando bastante.

Boa pergunta, eu também quero saber... Se me apresentassem esse problema sem a demonstração, eu teria feito do jeito que escrevi, eu também não entendi a onde o autor obteve esses números e sabe o que é mais interessante ?? Andei pesquisando na internet agora e vi um pdf onde o autor faz o mesmo exercício da mesma maneira, agora eu fiquei confuso, pois devo ter errado em algum lugar (ou no raciocínio da questão)... Vamos esperar o pessoal mais experiente (Luiz Aquino, Molina ou o Fantini) lerem a questão e postarem suas opiniões ou correções.

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Renato.