Teoria dos Números - Dúvida

por **Renato_RJ** » Sáb Jan 08, 2011 01:37

Caros colegas, alguém poderia verificar se eu fiz a questão de forma correta ? Serei muito grato...

Prove que ${2222}^{5555} + {5555}^{2222}$ é divisível por 7.

Eu fiz assim:

$2222 \equiv 3 \, mod \, 7$

Logo:

${2222}^{5555} \equiv {3}^{5555} \, mod \, 7 \equiv 243 \, mod \, 7 = 5$

Aqui eu estudei o ciclo de repetições do último algarismo das potências de 3, como abaixo:

${3}^{1} = 3; \quad {3}^{2} = 9; \quad {3}^{3} = 7 (27); \quad {3}^{4} = 1 (81); \quad {3}^{5} = 3 \quad$ e assim em diante.

$5555 \equiv 4 \, mod \, 7$

Logo:

${5555}^{2222} \equiv {4}^{2222} \, mod \, 7 = 2$

Aqui usei o mesmo procedimento de estudo do ciclo de repetições do último algarismo, mas para as potências de 4.

Então temos:

${2222}^{5555} + {5555}^{2222} \Rightarrow 5 + 2 = 7 \equiv 0 \, mod \, 7$

Então, estaria provado que a soma é divisível por 7.

Esse raciocínio está correto ?

Grato,
Renato.

por **VtinxD** » Sáb Jan 08, 2011 09:06

Acho que seu raciocínio esta correto mas acho que uma resolução mais elegante seria usar o pequeno teorema de Fermat ao invés de estudar os ciclos*.
${a}^{p-1}\equiv1\left(mod p \right)$

*Na verdade é provavelmente onde ele percebeu o teorema dele.
Espero ter ajudado e bons estudos ,esta matéria é muito legal :y: