(ITA-72) Condição de Existência

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Mensagempor flavio2010 » Dom Jul 11, 2010 10:03

Seja p(x)=x^2+px+p uma função real na variável real.Os valores de p para os quais f(x)=0 possue raiz dupla positiva são:
a) 0<p<4
b) p=4
c) p=0
d) f(x)=0 não pode ter raiz dupla positiva
e) n.r.a
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Re: (ITA-72) Condição de Existência

Mensagempor Douglasm » Dom Jul 11, 2010 10:44

Primeiramente, para que haja raiz dupla, o discriminante deve ser nulo:

b^2 - 4ac = 0 \;\therefore\; p^2 - 4p = 0 \;\therefore\; p = 0\;\;\mbox{ou}\;\;p=4

Para p = 0, nós temos o próprio zero como raiz dupla, que não é o que nós queremos, pois a raiz deve ser dupla e positiva. Para p = 4, nós teremos -2 como raiz dupla, o que também não nos serve. Consequentemente a resposta é letra D.
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Re: (ITA-72) Condição de Existência

Mensagempor Tom » Dom Jul 11, 2010 16:00

Em concordância com o que ja foi explanado, segue abaixo outras resoluções:


Resolução 1:

Seja f um polinômio tal que f(x)=x^2+px+p. Seja r a raiz dupla de f, então a primeira derivada de f no ponto r é nula, isto é: f'(r)=2r+p=0, assim r=\dfrac{-p}{2} é a raiz dupla.

Além disso Se r é raiz, então: r^2+pr+p=0, isto é, \dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p^2}{2}+p=0\rightarrow p(\frac{-p}{4}+1)=0 e como r\ne 0\rightarrow p\ne0 e decore em p=4.


Resolução 2:

Seja f um polinômio ta que f(x)=x^2+px+p. Seja r a raiz dupla de f, pelas relações de Girard, temos:

2r=-p e r^2=p e dessas obtemos: \dfrac{p^2}{4}=p e como p\ne0\rightarrow p=4



Resolução 3:

Se f adimite raiz dupla e é um polinômio do segundo grau, então f pode ser reduzido a um quadrado perfeito de forma canônica: (x-r)^2, tal que r é sua raiz. Assim, f(x)=x^2-2rx+r^2. Fazendo a identidade polinomial entre o polinômio supracitado e o fornecido pelo enunciado, obtemos:

p=-2r e p=r^2 e dessas relalçõs surge: \dfrac{p^2}{4}=p e como p\ne0\rightarrow p=4
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Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

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O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
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