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exercicio resolv.equaçoes diofantinas

exercicio resolv.equaçoes diofantinas

Mensagempor adauto martins » Seg Mai 28, 2018 18:49

seja a equaçao diofantina:
{x}^{2}-{y}^{2}=a...p/x,y,a\in Z,mostre que a é impar.
soluçao:
para q. a equaçao tenha soluçao teremos q. ter:
mdc(x,y)=mdc(y,a)=mdc(x,a)=1,ou seja:
primos dois a dois...logo,nao poderemos ter ambos x,y pares.
e nem ambos impares,pois:se forem pares mdc(x,y) sera multiplo de 2 e refuta a condiçao de soluçao.se forem impares teriamos:
{x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t+1)}^{2}=2({k}^{2}+{t}^{2})-2(k+t)+2=2({k}^{2}+{t}^{2}-(k+t)+1)=2m,q ´um numero par,e portanto divisivel por 2,o q. refuta a condiçao(mdc(x,y)=1) de termos soluçoes inteiras p. a equaçao diofantina dada.portanto a ,somente podera ser impar.
ou entao,
x,y tem q. ser um par,outro impar.entao:
suporemos x,impar e y,par,logo:
a={x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t)}^{2}=2(2({k}^{2}+{t}^{2})-(k+t))+1=2n+1...
raciocinio analogo p/ {x}^{2}+{y}^{2}=a...
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Re: exercicio resolv.equaçoes diofantinas

Mensagempor adauto martins » Seg Jun 04, 2018 19:54

para ficar mais clara a condiçao de q. o par(x,y) nao poderem ser ambos impares,
usarei a ALGEBRA MODULAR.
todo impar quadradro é escrito como {x}^{2}=1mod(4):,x impar.
prova:
seja x um impar,logo:
{x}^{2}={(2k+1)}^{2}=4{k}^{2}+4k+1=4({k}^{2}+k)+1=4p+1,p\in Z...,ou seja:
{x}^{2}\equiv 1mod(4)...,entao:
{x}^{2}-{y}^{2}=4p+1-(4q+1)=4(p-q)=4r\equiv 0mod(4) q. contradiz a condiçao exposta acima...
obs:a é tbem um impar quadrado,ou seja:
a={b}^{2},b impara={b}^{2},b //impar...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?