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exercicio resolv.equaçoes diofantinas

exercicio resolv.equaçoes diofantinas

Mensagempor adauto martins » Seg Mai 28, 2018 18:49

seja a equaçao diofantina:
{x}^{2}-{y}^{2}=a...p/x,y,a\in Z,mostre que a é impar.
soluçao:
para q. a equaçao tenha soluçao teremos q. ter:
mdc(x,y)=mdc(y,a)=mdc(x,a)=1,ou seja:
primos dois a dois...logo,nao poderemos ter ambos x,y pares.
e nem ambos impares,pois:se forem pares mdc(x,y) sera multiplo de 2 e refuta a condiçao de soluçao.se forem impares teriamos:
{x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t+1)}^{2}=2({k}^{2}+{t}^{2})-2(k+t)+2=2({k}^{2}+{t}^{2}-(k+t)+1)=2m,q ´um numero par,e portanto divisivel por 2,o q. refuta a condiçao(mdc(x,y)=1) de termos soluçoes inteiras p. a equaçao diofantina dada.portanto a ,somente podera ser impar.
ou entao,
x,y tem q. ser um par,outro impar.entao:
suporemos x,impar e y,par,logo:
a={x}^{2}-{y}^{2}={(2k+1)}^{2}-{(2t)}^{2}=2(2({k}^{2}+{t}^{2})-(k+t))+1=2n+1...
raciocinio analogo p/ {x}^{2}+{y}^{2}=a...
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Re: exercicio resolv.equaçoes diofantinas

Mensagempor adauto martins » Seg Jun 04, 2018 19:54

para ficar mais clara a condiçao de q. o par(x,y) nao poderem ser ambos impares,
usarei a ALGEBRA MODULAR.
todo impar quadradro é escrito como {x}^{2}=1mod(4):,x impar.
prova:
seja x um impar,logo:
{x}^{2}={(2k+1)}^{2}=4{k}^{2}+4k+1=4({k}^{2}+k)+1=4p+1,p\in Z...,ou seja:
{x}^{2}\equiv 1mod(4)...,entao:
{x}^{2}-{y}^{2}=4p+1-(4q+1)=4(p-q)=4r\equiv 0mod(4) q. contradiz a condiçao exposta acima...
obs:a é tbem um impar quadrado,ou seja:
a={b}^{2},b impara={b}^{2},b //impar...
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.