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por **Flavio Cacequi** » Sex Mar 30, 2018 20:55

Sabe-se que x - 1/x =V5. Calcule o valor de x^6 - 1/x^6.
a)135V5
b)125V5
c)144V5
d)36V5
e)18V5

por **Gebe** » Sáb Mar 31, 2018 13:21

Flavio Cacequi escreveu:Sabe-se que x - 1/x =V5. Calcule o valor de x^6 - 1/x^6.
a)135V5
b)125V5
c)144V5
d)36V5
e)18V5

Bem, confesso que não consigui fazer essa questão do jeito mais apropriado (manipulando a expressão), mas como ninguem respondeu vou colocar a forma que eu utilizei pra chegar na resposta, letra c.
Antes, só por teimosia minha, não é um sinal de + ao inves do - na expressão x^6 - 1/x^6 ? Se fosse um + a questão seria bem mais simples.
Vamos então pra forma que eu utilizei.

1) Descobrir o valor de "x".
Multiplicando toda expressão ( x - 1/x = V5 ) por "x"
$\\ x*(x-1/x)=x*\left(\sqrt[2]{5} \right)\\ \\ x^2-1=\sqrt[2]{5}x\\ \\ x^2-\sqrt[2]{5}x-1=0\\ \\$

Resolvendo por Bhaskara
$\\ x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{\left(\sqrt[2]{5} \right)^2-4*1*-1}}{2*1}\\ \\ x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{5+4}}{2}\\ \\ x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{9}}{2}\\ \\ x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm3}{2}$

Agora que vem a parte menos elegante da resolução. Escolhendo uma das raizes (pode ser qlq uma das duas, so muda o sinal no final), vamos achar a expressão pedida no braço. Como as raizes achadas estão separadas em dois termos devido a presença da raiz quadrada a conta fica muito extensa, logo vamos achar uma aproximação para $\sqrt[2]{5}$ .

Por tentativa não é dificil achar que $\sqrt[2]{5}$ é aproximadamente 2.23, logo $x=\frac{2.23+3}{2}=2.62$ .
Agora achamos a expressão de $x^6-\frac{1}{x^6}$

$x^6-\frac{1}{x^6}=2.62^6-\frac{1}{2.62^6}\approx323$
Esse é o resultado utilizando a aproximação que fizemos, no entanto a questão da as respostas em termos de $\sqrt[2]{5}$ .
Pra resolver esse problema, basta dividirmos a resposta encontrada por $\sqrt[2]{5}\approx2.23$

$323=323*\frac{\sqrt[2]{5}}{2.23}=\frac{323}{2.23}*\sqrt[2]{5}\approx144.84\sqrt[2]{5}$

Espero que tenha ajudado, bons estudos.

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