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[Desigualdade] entre função exponencial e função potência

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Mensagempor VitorFN » Sex Mai 26, 2017 15:18

Tenho uma questão que está me intrigando, se alguém puder me ajudar:

Prove que uma função exponencial de base natural cresce mais rápido que qualquer função potência, desde que X seja suficientemente grande.

Ou seja, prove que e^{x} > x^{N} para qualquer n\in \mathbb{N} - Por exemplo, para n=10 temos: e^{x} > x^{10}
Utilizando o programa WolframAlpha para resolver essa condição(n=10), ele mostra que x precisa ser maior que aproximadamente 35,77, mas como resolver para qualquer n apenas utilizando operações algébricas?

Eu pensei em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, chegando à seguinte expressão: \frac{x}{\ln(x)} > n a partir daí não sei como proceder.
VitorFN
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Re: [Desigualdade] entre função exponencial e função potênci

Mensagempor adauto martins » Sex Jul 07, 2017 12:17

O({x}^{n})=O({x}^{n}+{x}^{n-1}+...+x+1)\prec O({x}^{n}.{x}^{n-1}....1)\prec O({n}^{x}),
onde O(f(x)) mede o crescimento assimtotico de f(x) para numeros muito grande,O e dita notaçao de landau...
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?