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Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sex Jan 15, 2010 00:52

Olá

Gostaria de saber sobre notação científica ou como calcular potenciação com base em que o expoente é muito alto. Como no exercício abaixo:

Determine a relação entre a e b onde a e b sao números naturais que expressam os números de algarismos de
x = {4}^{12} . {5}^{20} e y = {4}^{14} . {5}^{18} , respectivamente.

Eu até conseguiria resolver essas potências, só que queria saber se existe algum método que dê para facilitar o cálculo quando o expoente é muito grande, como no caso acima. Se existir algum método, gostaria de um esclarecimento.

Desde já agradeço.
brumadense
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 15, 2010 11:44

x = [4^12]*(5^20)

x = [(2²)^12]*(5^20)

x = [2^24]*(5^20)

x = [(2^4)*(2^20)]*(5^20)

x = (2^4)*[(2^20)*(5^20)]

x = (16)*(2*5)^20

x = 16*(10^20)

10^20 é um número com 21 algarismos ----> 16.000.000.000.000.000.000.000

Era isto que você queria?

Se for, faça de modo similar para y
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sáb Jan 16, 2010 00:29

Elcioschin escreveu:x = [4^12]*(5^20)

x = [(2²)^12]*(5^20)

x = [2^24]*(5^20)

x = [(2^4)*(2^20)]*(5^20)

x = (2^4)*[(2^20)*(5^20)]

x = (16)*(2*5)^20

x = 16*(10^20)

10^20 é um número com 21 algarismos ----> 16.000.000.000.000.000.000.000

Era isto que você queria?

Se for, faça de modo similar para y


Olá Elcioschin, obrigado pela resposta, era isso mesmo que querendo entender. Embora minha resposta deu diferente da sua. Veja como fiz as letras x e y:

x = (2²)^12 . 5^20

x = 2^24 . 5^20

x = 2^4 . 2^20 . 5^20

x = 2^4 . 2^20 . 5^20

x = 2^4 . (2*5)^20

x = 16 . 10^20

Assim temos:
16.100000000000000000000 = 1600000000000000000000 = 22 algarismos



y = 4^14 . 5^18

y = (2²)^14 . 5^18

y = 2^28 . 5^18

y = 2^10 . 2^18 . 5^18

y = 2^10 . (2 . 5)^18

y = 2^10 . 10^18

y = 1024 . 10^18

Assim temos:

1024 . 1000000000000000000 = 1024000000000000000000 = 22 algarismos

Portanto x = y

Gostaria de saber porque a minha resolução deu 22 algarismos e a sua 21 algarismos, gostaria muito de uma explicação.

Também gostaria de tirar mais essa dúvida:

Respondendo a letra y = 4^14 . 5^18 temos:

4^14 . 5^18
(2²)^14 . 5^18
2^28 . 5^18

Agora aqui ficou um pouco de dúvida.

Queria saber quais expoente deixar de 2^28 em 2^? . 2^? . 5^18 ?

pois 2^28 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2

Agora minha dúvida é de como aplicar a fórmula para que seja feita a distruibuição dos expoentes, ou seja, quais os expoentes que ficariam em 2^? . 2^? . 5^18

Será que pra colocar os expoentes, temos que tomar como base o expoente 18 do 5^18?

E ficaria assim: 2^10 . 2^18. 5^18.

A base pra formular os expoentes dos números anteriores seria o expoente 18 de 5^18?

Gostaria de tirar mais essa dúvida

obrigado.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sáb Jan 16, 2010 08:53

Você tem razão quanto à quantidade de algarismos do primeiro: são 22 algarismos: 16 + 20 zeros

Quanto ao segundo vc resolveu corretamente:

10^18 tem 18 zeros ----> Juntando com os 4 algarismos do 1024 são 22 algarismos:

1.024.000.000.000.000.000.000 coloquei os pontos para facilitar a leitura (veja que são 18 zeros)

Respondendo a sua dúvida:

Vc deve colocar o expoente do 2 IGUAL ao expoente do 5 para poder juntar as duas base e obter 10.

Vou dar dois exemplos:

a) Expoente do 2 maior do que exponte do 5 ----> (2^7)*(5^6) = (2¹)*(2^6)*(5^6) = 2*[(2^6)*(5^6)] = 2*10^6 = 2.000.000

b) Expoente do 2 menor do que exponte do 5 ----> (2^3)*(5^4) = (2^3)*(5^3)*(5^1) = 5*[(2^3)*(5^3)] = 5*10^3 = 5.000
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sáb Jan 16, 2010 20:09

Elcioschin

Obrigado pela explicação, realmente me ajudou muito.

Agora queria também saber se tem alguma forma mais prática de se resolver uma potência com expoente muito alto, como essa abaixo:

8^17

Pois fazer 8 dezessete vezes, é muito cansativo, sem falar que toma muito tempo.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sáb Jan 16, 2010 20:59

Para base 2 existe um modo aproximado: 2^10 = 1024 ~= 1000 = 10³ -----> 2^10 ~= 10³


8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sex Jan 22, 2010 00:20

Elcioschin escreveu:Para base 2 existe um modo aproximado: 2^10 = 1024 ~= 1000 = 10³ -----> 2^10 ~= 10³


8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000


Olá Elcioschin, borigado mais uma vez pela explicação, embora não tenha entendido essa parte:

8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000

o 2^51 entendi, pois multiplicou os expoentes 3 e 17 de (2³)^17, que dá 51

Daí também entendi 2^51 = (2¹)*(2^50)

agora gostaria de saber como encontrar essa outra parte: 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5

Obrigado.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 22, 2010 08:42

Basta lembrar que:

2^10 ~= 10³ (aproximadamente igual, pois 2^10 = 1024 e 10^3 = 1000)

2^51 = (2^1)*(2^50) = 2*[2^(10*5)] = 2*(2^10)^5 = 2*(10^3)^5 = 2*10^15
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?