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Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sex Jan 15, 2010 00:52

Olá

Gostaria de saber sobre notação científica ou como calcular potenciação com base em que o expoente é muito alto. Como no exercício abaixo:

Determine a relação entre a e b onde a e b sao números naturais que expressam os números de algarismos de
x = {4}^{12} . {5}^{20} e y = {4}^{14} . {5}^{18} , respectivamente.

Eu até conseguiria resolver essas potências, só que queria saber se existe algum método que dê para facilitar o cálculo quando o expoente é muito grande, como no caso acima. Se existir algum método, gostaria de um esclarecimento.

Desde já agradeço.
brumadense
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 15, 2010 11:44

x = [4^12]*(5^20)

x = [(2²)^12]*(5^20)

x = [2^24]*(5^20)

x = [(2^4)*(2^20)]*(5^20)

x = (2^4)*[(2^20)*(5^20)]

x = (16)*(2*5)^20

x = 16*(10^20)

10^20 é um número com 21 algarismos ----> 16.000.000.000.000.000.000.000

Era isto que você queria?

Se for, faça de modo similar para y
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sáb Jan 16, 2010 00:29

Elcioschin escreveu:x = [4^12]*(5^20)

x = [(2²)^12]*(5^20)

x = [2^24]*(5^20)

x = [(2^4)*(2^20)]*(5^20)

x = (2^4)*[(2^20)*(5^20)]

x = (16)*(2*5)^20

x = 16*(10^20)

10^20 é um número com 21 algarismos ----> 16.000.000.000.000.000.000.000

Era isto que você queria?

Se for, faça de modo similar para y


Olá Elcioschin, obrigado pela resposta, era isso mesmo que querendo entender. Embora minha resposta deu diferente da sua. Veja como fiz as letras x e y:

x = (2²)^12 . 5^20

x = 2^24 . 5^20

x = 2^4 . 2^20 . 5^20

x = 2^4 . 2^20 . 5^20

x = 2^4 . (2*5)^20

x = 16 . 10^20

Assim temos:
16.100000000000000000000 = 1600000000000000000000 = 22 algarismos



y = 4^14 . 5^18

y = (2²)^14 . 5^18

y = 2^28 . 5^18

y = 2^10 . 2^18 . 5^18

y = 2^10 . (2 . 5)^18

y = 2^10 . 10^18

y = 1024 . 10^18

Assim temos:

1024 . 1000000000000000000 = 1024000000000000000000 = 22 algarismos

Portanto x = y

Gostaria de saber porque a minha resolução deu 22 algarismos e a sua 21 algarismos, gostaria muito de uma explicação.

Também gostaria de tirar mais essa dúvida:

Respondendo a letra y = 4^14 . 5^18 temos:

4^14 . 5^18
(2²)^14 . 5^18
2^28 . 5^18

Agora aqui ficou um pouco de dúvida.

Queria saber quais expoente deixar de 2^28 em 2^? . 2^? . 5^18 ?

pois 2^28 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2

Agora minha dúvida é de como aplicar a fórmula para que seja feita a distruibuição dos expoentes, ou seja, quais os expoentes que ficariam em 2^? . 2^? . 5^18

Será que pra colocar os expoentes, temos que tomar como base o expoente 18 do 5^18?

E ficaria assim: 2^10 . 2^18. 5^18.

A base pra formular os expoentes dos números anteriores seria o expoente 18 de 5^18?

Gostaria de tirar mais essa dúvida

obrigado.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sáb Jan 16, 2010 08:53

Você tem razão quanto à quantidade de algarismos do primeiro: são 22 algarismos: 16 + 20 zeros

Quanto ao segundo vc resolveu corretamente:

10^18 tem 18 zeros ----> Juntando com os 4 algarismos do 1024 são 22 algarismos:

1.024.000.000.000.000.000.000 coloquei os pontos para facilitar a leitura (veja que são 18 zeros)

Respondendo a sua dúvida:

Vc deve colocar o expoente do 2 IGUAL ao expoente do 5 para poder juntar as duas base e obter 10.

Vou dar dois exemplos:

a) Expoente do 2 maior do que exponte do 5 ----> (2^7)*(5^6) = (2¹)*(2^6)*(5^6) = 2*[(2^6)*(5^6)] = 2*10^6 = 2.000.000

b) Expoente do 2 menor do que exponte do 5 ----> (2^3)*(5^4) = (2^3)*(5^3)*(5^1) = 5*[(2^3)*(5^3)] = 5*10^3 = 5.000
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sáb Jan 16, 2010 20:09

Elcioschin

Obrigado pela explicação, realmente me ajudou muito.

Agora queria também saber se tem alguma forma mais prática de se resolver uma potência com expoente muito alto, como essa abaixo:

8^17

Pois fazer 8 dezessete vezes, é muito cansativo, sem falar que toma muito tempo.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sáb Jan 16, 2010 20:59

Para base 2 existe um modo aproximado: 2^10 = 1024 ~= 1000 = 10³ -----> 2^10 ~= 10³


8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor brumadense » Sex Jan 22, 2010 00:20

Elcioschin escreveu:Para base 2 existe um modo aproximado: 2^10 = 1024 ~= 1000 = 10³ -----> 2^10 ~= 10³


8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000


Olá Elcioschin, borigado mais uma vez pela explicação, embora não tenha entendido essa parte:

8^17 = (2³)^17 = 2^51 = (2¹)*(2^50) = 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5 = 2*10^15 ~= 2.000.000.000.000.000

o 2^51 entendi, pois multiplicou os expoentes 3 e 17 de (2³)^17, que dá 51

Daí também entendi 2^51 = (2¹)*(2^50)

agora gostaria de saber como encontrar essa outra parte: 2*(2^10)^5 ~= 2*(10³)^5

Obrigado.
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Re: Como resolver uma potência com expoente muito alto?

Mensagempor Elcioschin » Sex Jan 22, 2010 08:42

Basta lembrar que:

2^10 ~= 10³ (aproximadamente igual, pois 2^10 = 1024 e 10^3 = 1000)

2^51 = (2^1)*(2^50) = 2*[2^(10*5)] = 2*(2^10)^5 = 2*(10^3)^5 = 2*10^15
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D