Fatoração - esse consegui desenvolver

por **IsadoraLG** » Qua Jul 09, 2014 21:47

Nesse caso, só fiquei em dúvida quanto a um passo do exercício:

(UNIFOR) Os números reais a e b, que satifazem a igualdade $({\sqrt[]{3} + 1})^{4} = a + b\sqrt[]{3}$ , são tais que a - b é igual a:
A)12
B)14
C)15
D)18

${a}^{4}+4{a}^{3}b+6{a}^{2}{b}^{2}+4a{b}^{3}+{b}^{4}$

${\sqrt[]{3}}^{4} + {\sqrt[]{3}}^{3} . 1+6 ({\sqrt[]{3}})^{2}+{1}^{2} + 4{\sqrt[]{3}}^{3} . 1 + {1}^{4}$

Com estas contas, chegamos a >>> $({\sqrt[]{3}}^{} . \sqrt[]{3})$ :

$3 . 3 + 4 . 3\sqrt[]{3}+ 6 . 3 + 4\sqrt[]{3}+1 >>>>$ >>>> É nessa linha que entra minha dúvida: onde está, o que aconteceu com o ${\sqrt[]{3} }^{3}$ da linha anterior?....

por **DanielFerreira** » Qua Jul 16, 2014 20:41

Isadora, não estou mui certo se entendi sua dúvida, mas...

$\\ \sqrt{3^3} = \\\\ \sqrt{3^2 \cdot 3} = \\\\ 3\sqrt{3}$

Poderíamos também resolvê-la da seguinte forma:

$\\ (\sqrt{3} + 1)^4 = a + b\sqrt{3} \\\\ (\sqrt{3} + 1)^2 \cdot (\sqrt{3} + 1)^2 = a + b\sqrt{3} \\\\ (3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot (3 + 2\sqrt{3} + 1) = a + b\sqrt{3} \\\\ (4 + 2\sqrt{3}) \cdot(4 + 2\sqrt{3}) = a + b\sqrt{3} \\\\ (4 + 2\sqrt{3})^2 = a + b\sqrt{3} \\\\ 16 + 16\sqrt{3} + 12 = a + b\sqrt{3} \\\\ 28 + 16\sqrt{3} = a + b\sqrt{3}$

Ora, temos então $\boxed{a = 28}$ e $\boxed{b = 16}$ .

Logo,

$\\ a - b = 28 - 16 \\ \boxed{\boxed{a - b = 12}}$

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