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[ Fatoração] Olimpíada da Irlanda- 93

[ Fatoração] Olimpíada da Irlanda- 93

Mensagempor chronoss » Qui Abr 18, 2013 15:22

Os números reais \alpha\:\,e\,\:\beta satisfazem as equações :

\alpha^{3}\:-3\alpha^{2}\:+5\alpha \:-17\,=\,0

\beta^{3}\:-3\beta^{2}\:+5\beta \:+11\,=\,0


Determine \alpha\:+\:\beta


Tentei de diversas formas fatorar mas não obtive sucesso.

Resposta : 2
chronoss
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Re: [ Fatoração] Olimpíada da Irlanda- 93

Mensagempor e8group » Qui Abr 18, 2013 20:12

Vamos ver o que acontece se somarmos as duas equações :

\alpha^3 + \beta^3 -3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0 .

Além disso ,como (\alpha +\beta)^3 = \alpha^3+3 \alpha^2 \beta+3 \alpha \beta^2+\beta^3, obtemos que \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha +\beta)^3 -3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2 .Assim ,

a equação \alpha^3 + \beta^3 -3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0 é equivalente a


(\alpha +\beta)^3 -3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2 - 3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0 .

ou ainda (\alpha +\beta)^3 - 3(\alpha +\beta)^2 -3\alpha\beta(\alpha +\beta) + 5(\alpha +\beta) -6 +6\alpha\beta = 0 .

Assim , o valor de a+b corresponde a raiz do polinômio p(x) = x^3 - 3x^2 -3\alpha\beta x + 5x -6 +6\alpha\beta .

Mas , p(x) = x^3 - 3x^2 -3\alpha\beta(x-2) + 5x - 6  =

x^3 -2x^2 -x^2 -3\alpha\beta(x-2) + 5x - 6  =

x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -x^2 +5x - 6 =

x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -(x^2 -2x -3x + 6) =

x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -(x[x -2] -3[x - 2]) =

Deixando x-2 em evidência ,segue

p(x) =(x-2)(x^2 -3\alpha \beta -[x-3]) .

Assim , p(2) = 0 ; logo a+b = 2 .

Há de ter outra forma também de se resolver este exercício, talvez até seja mais simples .
e8group
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Re: [ Fatoração] Olimpíada da Irlanda- 93

Mensagempor chronoss » Qui Abr 18, 2013 22:49

Obrigado santhiago , e bela resolução.
chronoss
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)