preciso de ajuda:

por **angeloka** » Ter Out 05, 2010 23:00

Não estou lembrada de como resolvo esta atividade:
1) Demonstre o seguinte: se a é um número natural, então a2 é par se e somente se, a é par.

por **MarceloFantini** » Ter Out 05, 2010 23:39

Se a é par, então a = 2k

, com $k \in N$ . Vamos fazer primeiro a parte da direita para esquerda:

Hipótese: a = 2k

Tese:

$a^2 = a \cdot a = (2k) \cdot (2k) = 4k^2 = 2 \cdot \overbrace{(2k^2)}^{\mbox{u}} = 2u$

Logo, a^2

é par.

Esquerda para direita, vou fazer por absurdo. Suponha que a é ímpar. Então a = 2n+1

. Logo:

$a^2 = a \cdot a = (2n+1) \cdot (2n+1) = 4n^2 +4n +1 = 2 \cdot \overbrace{(2n^2 +2n)}^{\mbox{t}} +1 = 2t+1$

Isso mostra que a^2

é ímpar. Entretanto, a nossa hipótese é que a^2

é PAR, o que resulta em um absurdo. Portanto, a tem que ser par.