(ITA-72) Condição de Existência

[flavio2010]

Seja p(x)=x^2+px+p uma função real na variável real.Os valores de p para os quais f(x)=0 possue raiz dupla positiva são:
a) 0<p<4
b) p=4
c) p=0
d) f(x)=0 não pode ter raiz dupla positiva
e) n.r.a

[Douglasm]

Primeiramente, para que haja raiz dupla, o discriminante deve ser nulo:



Para p = 0, nós temos o próprio zero como raiz dupla, que não é o que nós queremos, pois a raiz deve ser dupla e positiva. Para p = 4, nós teremos -2 como raiz dupla, o que também não nos serve. Consequentemente a resposta é letra D.

[Tom]

Em concordância com o que ja foi explanado, segue abaixo outras resoluções:


Resolução 1:

Seja um polinômio tal que . Seja a raiz dupla de , então a primeira derivada de no ponto é nula, isto é: , assim é a raiz dupla.

Além disso Se é raiz, então: , isto é, e como e decore em .


Resolução 2:

Seja um polinômio ta que . Seja a raiz dupla de , pelas relações de Girard, temos:

e e dessas obtemos: e como



Resolução 3:

Se adimite raiz dupla e é um polinômio do segundo grau, então pode ser reduzido a um quadrado perfeito de forma canônica: , tal que é sua raiz. Assim, . Fazendo a identidade polinomial entre o polinômio supracitado e o fornecido pelo enunciado, obtemos:

e e dessas relalçõs surge: e como