Relaçao de Recorrencia

por **henrique25** » Sáb Mai 08, 2010 17:07

Nao sei se este lugar é adequado entao desculpem.Tenho um problema de recorrencia que nao consigo achar a "forma geral" , é necessario apenas isso p/ resolver o resto eu sei.
O Problema:
P(1)=2

Eu fiz assim mas ta errado:
n=2 - 2.[2P(n-2)+[n2^n-1] + n2^n

n=3 -

n=4 -

2.2.2.[2P(n-4)+[n2^n-3] [n2^n -2] +n2^n-1+n2^n

forma geral:
$2^k.P(n-k)+kn.2^n-{(k-1)+(k+2)}/2$
Ai fiz:
$2^n-1 .P(1)+(n-1).n.2^n-{(n-1)^2-(n-1)}/2$
$2^n + n^2 - n.2^n -{(n^2 -2n+1-n+1)}/2$
$2^n+n^2-2n^n -{(n^2-3n+2)}/2$
${4^n+2n^2 -4n^2 -n^2+3n-2}/2$
Ai deu isso aqui,mas quando substituo nao da certo.
n^2+3n-2+4^n-4n^n

Tem uma formula tbm mas nao consegui:
$S(n)=c^(n-1) S(1)+\sum_{i=2}^{n} .c^(n-i) . g(i)$

Gostaria que vcs deem dicas de como fazer la em cima so o" n2^n" , porque se fosse um numero eu saberia mas"elevado à n" ta complicado.Se vcs puderem ajudar estarei mt grato.Obrigado

por **Douglasm** » Sáb Mai 08, 2010 18:49

Olá henrique, de início eu não entendi muito bem a questão, mas creio que você queria achar uma fórmula geral para P(n) sem precisar recorrer ao termo anterior. Sendo assim, eu simplesmente fui desenvolvendo P(1), P(2), P(3), etc. e encontrei a relação geral. Veja só:

P(1) = 2

Seguindo a fórmula da recorrência:

P(2) = 2.P(1) + n.2^n = 2.2 + 2.2^2 = 2^2 + 2.2^2 = (1+2).2^2

P(3) = 2.P(2) + 3.2^3 = 2 .[(1+2).2^2] + 3.2^3 = (1+2+3).2^3

P(4) = 2.P(3) + 4.2^4 = 2.[(1+2+3).2^3] + 4.2^4 = (1+2+3+4).2^4

P(5) = 2.P(4) + 5.2^5 = 2.[(1+2+3+4).2^4] + 5.2^5 = (1+2+3+4+5).2^5

E assim podemos continuar indefinidamente. Não sei se haveria necessidade de uma prova mais formal, uma prova por indução ou algo do tipo, mas é evidente que a fórmula geral de P(n) é:

$P(n) = (1+2+3+4+5+...+n).2^n = \frac{n(n+1)}{2}.2^n$

Espero ter ajudado. Até a próxima.

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