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Mensagempor Flavio Cacequi » Sex Mar 30, 2018 20:55

Sabe-se que x - 1/x =V5. Calcule o valor de x^6 - 1/x^6.
a)135V5
b)125V5
c)144V5
d)36V5
e)18V5
Flavio Cacequi
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Re: Produto Notáveis

Mensagempor Gebe » Sáb Mar 31, 2018 13:21

Flavio Cacequi escreveu:Sabe-se que x - 1/x =V5. Calcule o valor de x^6 - 1/x^6.
a)135V5
b)125V5
c)144V5
d)36V5
e)18V5


Bem, confesso que não consigui fazer essa questão do jeito mais apropriado (manipulando a expressão), mas como ninguem respondeu vou colocar a forma que eu utilizei pra chegar na resposta, letra c.
Antes, só por teimosia minha, não é um sinal de + ao inves do - na expressão x^6 - 1/x^6 ? Se fosse um + a questão seria bem mais simples.
Vamos então pra forma que eu utilizei.

1) Descobrir o valor de "x".
Multiplicando toda expressão ( x - 1/x = V5 ) por "x"
\\
x*(x-1/x)=x*\left(\sqrt[2]{5} \right)\\
\\
x^2-1=\sqrt[2]{5}x\\
\\
x^2-\sqrt[2]{5}x-1=0\\
\\

Resolvendo por Bhaskara
\\
x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{\left(\sqrt[2]{5} \right)^2-4*1*-1}}{2*1}\\
\\
x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{5+4}}{2}\\
\\
x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm\sqrt[2]{9}}{2}\\
\\
x=\frac{\sqrt[2]{5}\pm3}{2}

Agora que vem a parte menos elegante da resolução. Escolhendo uma das raizes (pode ser qlq uma das duas, so muda o sinal no final), vamos achar a expressão pedida no braço. Como as raizes achadas estão separadas em dois termos devido a presença da raiz quadrada a conta fica muito extensa, logo vamos achar uma aproximação para \sqrt[2]{5}.

Por tentativa não é dificil achar que \sqrt[2]{5} é aproximadamente 2.23, logo x=\frac{2.23+3}{2}=2.62.
Agora achamos a expressão de x^6-\frac{1}{x^6}

x^6-\frac{1}{x^6}=2.62^6-\frac{1}{2.62^6}\approx323
Esse é o resultado utilizando a aproximação que fizemos, no entanto a questão da as respostas em termos de \sqrt[2]{5}.
Pra resolver esse problema, basta dividirmos a resposta encontrada por \sqrt[2]{5}\approx2.23

323=323*\frac{\sqrt[2]{5}}{2.23}=\frac{323}{2.23}*\sqrt[2]{5}\approx144.84\sqrt[2]{5}

Espero que tenha ajudado, bons estudos.
Gebe
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.