equações do segundo grau - como fazer

por **Ariel** » Seg Nov 09, 2015 21:52

Pessoal, estou ensinando o meu sobrinho, q tem duvidas. Deram à ele 2 equaçoes:
é pra resolver usando a fórmula de Bhaskara? é 8 ano. Encontrar o x.
Estou perguntando pq revirei livro todo e não achei este assunto lá.

por **nakagumahissao** » Ter Nov 10, 2015 08:54

Ariel,

As equações que colocou no problema são equações do segundo grau. São do segundo grau porque o expoente maior é o dois. Expoente é o número que está sobre o "x".

Numa equação de segundo grau, descobriu-se que uma pequena fórmula poderia resolver o problema e ajudar a encontrar o valor de x. O nome da pessoa que descobriu isso foi Bháskara e a fórmulá é:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

chamamos costumeiramente o valor que se encontra debaixo do radical de "Delta". Assim:

$\Delta = b^2 - 4ac$

As variáveis "a", "b" e "c" são os coeficientes da equação. Os coeficientes são os números ao lado de cada "x". Um polinômio de segundo grau tem o seguinte formato:

ax^2 + bx^1 + cx^0 = 0

Mas, todo número elevado a ele mesmo é ele mesmo e todo número elevado a zero é igual a 1, o polinômio ficará da seguinte forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde: a, b e c são números Reais e são chamados de coeficientes do polinômio e x é a variável. Da mesma forma, uma função do segundo grau é uma função do tipo:

f(x) = y = ax^2 + bx + c

onde para cada valor de x, existe um valor de y (ou f(x)) associado.

Resover uma equação quadrática (ou de segundo grau) significa encontrar os valores de x para que a equação seja igual a zero. Chamamos isso de Encontrar os zeros da equação.

As funções quadráticas aparecem muito em problemas financeiros, análises de estoques, engenharias (civil, mecânica, etc.), física, matemática, psicologia, biologia, etc.

Feitas as devidas observações, vamos então resolver as equações que você postou:

2x^2 - 6x = 0

Os coeficientes desta equação são:

a = 2, b = -6 e c = 0 (não foi mostrado e por isso vale zero).

Em uma equação onde o c = 0 podemos resolver sem o uso da fórmula de bháskara. Vamos resolver das duas formas, mas usar bháskara para resolver um problema desses apenas aumentaria o trabalho. Os resultados deverão ser os mesmos. Vejamos primeira SEM o uso da fórmula:

Em primeiro lugar, vamos fatorar a equação dada:

$2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 6) = 0$

Assim, ao olhar para a equação final, podemos ver que: Ou x é igual a zero ou 2x - 6 é igual a zero para que o resultado desta multiplicação dê zero como resultado. Logo:

x = 0

ou

$2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = \frac{6}{2} \Leftrightarrow x = 3$

Portanto a resposta é: x = 0 ou x = 3.

Vamos agora usar bháskara. Substituindo-se a, b e c na fórmula pelos valores dos coeficientes dados na equação, teremos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(0)}}{2(2)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 0}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{36}}{4} = \frac{6 \pm 6}{4}$

À partir daqui, temos duas soluções por causa do mais e menos existente na equação final. Vamos resolver um por um abaixo:

${x}_{1} = \frac{6 - 6}{4} \Rightarrow {x}_{1} = \frac{0}{4} \Rightarrow {x}_{1} = 0$

${x}_{2} = \frac{6 + 6}{4} \Rightarrow {x}_{2} = \frac{12}{4} \Rightarrow {x}_{2} = 3$

Como pode observar, os resultados são os mesmos: x = 0 ou x = 3

Para saber se o que fez para resolver o problema está correto ou não, basta pegar os valores encontrados e substituir na equação para ver se a equação se igualará a zero. Vamos fazer isso usando x = 0:

$2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(0)^2 - 6(0) = 2 \times 0 - 0 = 0 - 0 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)$

Agora, usando x = 3:

$2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(3)^2 - 6(3) = 2 \times 9 - 18 = 18 - 18 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)$

Assim, tiramos "a prova" de que os valores encontrados são realmente a resposta para o problema dado.

Vamos resolver o segundo problema agora:

x^2 - 10x + 25 = 0

Os coeficientes são: a = 1, b = -10 e c = 25

Assim, usando bháskara, obteremos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)}$

$x =\frac{10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{10 \pm 0}{2} = \frac{10}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x = 5$

Neste caso, obtivemos apenas uma resposta. As equações quadráticas podem possuir:

a) Nenhuma raiz Real (apenas complexos, mas isto é outra história)
b) 1 Raiz Real como neste caso onde x = 5 e não existe uma segunda resposta
c) 2 Raizes reais como no primeiro caso
d) 1 Raiz real e outra Complexa (isto é uma outra história também)

Para terminar esta questão, a resposta para ela é x = 5. Experimente trocar o x por 5 e verifique se dará zero. Se der, é porque a resposta está correta, caso contrário, tente resolver a questão para encontrar o valor correto.

Espero ter ajudado.

Sandro H. Nakaguma

por **Ariel** » Ter Nov 10, 2015 13:55

Sandro, a sua resposta foi joia!!! Muito obrigada! Vc poderia resolver só mais um problema pra mim, mas de equação simples (o qual eu não consegui resolver)? Como eu posso te enviar?

Abs!!

por **nakagumahissao** » Ter Nov 10, 2015 15:29

Pode postar aqui mesmo, na sequência, usando o Editor de Fórmulas. Se não souber, tire uma foto ou faça como o anterior. pode também postar uma nova pergunta neste fórum. Mesmo que eu não resolva, outros professores e/ou pessoas poderão resolver o problema para você.

por **Ariel** » Ter Nov 10, 2015 16:02

é É esta em anexo... resolveram pra mim, mas não consegui entender. Primeiro não tem q fazer o q está entre parenteses?
Ou tem q multiplicar a fração pelas duas que estão entre parenteses?
Obrigada!

por **nakagumahissao** » Ter Nov 10, 2015 16:57

$\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4$

Ariel, neste caso você poderia resolver de duas formas. O correto é eliminar-se os parênteses primeiro e como não é possível eliminar o parênteses somando os valores que estão dentro dele por causa do "x" e multiplicar pela fração que está do lado de fora, podemos aplicar a distributividade, que é uma das propriedades da aritmética.

Um exemplo de distributividade é:

a(b + c), onde a está multiplicando pela soma de b com c, assim:

a(b + c) = ab + ac

Um exemplo com números seria:

2(3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16, mas como podemos eliminar os parênteses somando-se primeiramente os números, poderíamos também resolver da seguinte forma:

2(3 + 5) = 2 x 8 = 16, que dá o mesmo resultado.

No caso do problema em questão, teríamos:

PRIMEIRA FORMA DE RESOLUÇÃO:

$\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4$

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times 3x = 4$

Na multiplicação de frações, multiplica-se o numerador pelo outro numerador e o denominador pelo outro denominador, lembrando que o denominador de 3x é 1, ou seja:

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3x}{1}= 4$

Logo:

$\frac{6}{6} + \frac{6x}{3} = 4$

$1 + \frac{6x}{3} = 4$

$\frac{6x}{3} = 4 - 1$

$\frac{6x}{3} = 3$

2x = 3

$x = \frac{3}{2}$

$\blacksquare$

Uma outra forma de se resolver é perceber que existe um número multiplicando pela soma de outro número. Se fôssemos pensar em quadradinhos teríamos algo assim:

${\square}_{1} \times {\square}_{2} = 4$

e como o primeiro quadradinho está multiplicando, podemos "passar para o outro lado do igual" dividindo, ou seja:

${\square}_{2} = \frac{4}{{\square}_{1}}$

Assim,

SEGUNDA FORMA DE RESOLUÇÃO:

$\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4$

$\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{4}{\frac{2}{3}}$

Reescrevendo a fração do lado direito do igual temos:

$\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}$

Uma fração divida pela outra pode ser reescrita em formato de multiplicação da seguinte forma: (Este é apenas um exemplo)

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Repare que invertemos o denominador. Usando esta propriedade das frações, podemos continuar resolvendo da seguinte maneira:

$\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}$

$\frac{3}{2} + 3x = \frac{4}{1} \times \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} + 3x = \frac{12}{2}$

$\frac{3}{2} + 3x= 6$

Reorganizando a equação, tem-se que:

$3x= 6 - \frac{3}{2}$

Reescrevendo o 6 como fração temos:

$3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}$

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 1 e 2 é 2 (Ver abaixo):

1 - 2 | 2
1 - 1 |

para obter o MMC, basta ir dividindo cada número por um número maior que 1 e ir deixando os resultados do lado esquerdo. Caso a divisão somente seja possível para um deles, divida ele pelo número colocado do lado direito da barra e coloque o resultado embaixo e reptia aquele que não poderá ser dividido.

Exemplo de MMC entre 8 e 15

8 - 15 | 2 (Dá para dividir o 8 por 2 que dá 4 e repete-se o 15 pois ele não pode ser dividido exatamente por 2)
4 - 15 | 2 (Novamente dá para dividir por 2 e repetindo-se o processo acima)
2 - 15 | 2
1 - 15 | 3 (15 pode ser dividido por 3 e como atingirmos 1 do lado esquerdo, paramos por aí mesmo)
1 - 5 | 5 (Cinco somente pode ser dividido por 5, então...)
1 - 1 | - Acabou!

Agora multipliquemos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = MMC = 120

Voltando ao nosso problema e sabendo-se agora que o MMC é 2, deixamos o 2 que é o MMC no denominador. Depois dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador, sempre respeitando os sinais:

$3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}$

$3x= \frac{(2 \div 1 \times 6) - (2 \div 2 \times 3)}{2}$

O passo acima normalmente não é mostrado. Só coloquei para você entender que peguei o MMC = 2, dividi por cada um dos denominadores e multipliquei pelo numerador.

Assim, teremos:

$3x= \frac{12 - 3}{2}$

$3x= \frac{9}{2}$

Agora, passando o 3 de 3x dividindo:

$x= \frac{\frac{9}{2}}{3}$

e reescrevendo em formato de fração para ficar mais fácil o entendimento:

$x= \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{1}}$

Este formato já vimos anteriormente nesta resolução e portanto, vamos apenas reescrever a fração em formato de multiplicação:

$x= \frac{9}{2} \times \frac{1}{3}$

$x= \frac{9 \ times 1}{2 \times 3}$

$x= \frac{9}{6}$

Dá para perceber que 9 e 6 são ambos divisíveis por 3. Então, para simplificar, teremos que dividir OS DOIS (o numerador e o denominador) por 3, ficando com:

$x= \frac{3}{2}$

$\blacksquare$

Repare que o resultado é o mesmo que obtemos na primeira forma de se resolver o problema. Tivemos mais trabalho nesta segunda, porém é uma forma válida também.

Para saber se o resultado que obtivemos está correto, basta trocar o valor de "x" por este valor encontrado para ver se a igualdade é verdadeira, desta maneira:

$\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4$

$\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3 \times \frac{3}{2} \right) = 4 \Rightarrow \frac{2}{3} \left(\frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right) = 4$

$\Rightarrow \frac{2}{3} \times \frac{12}{2} = 4 \Rightarrow \frac{24}{6} = 4 \;\;\; [Verdadeira]$

E assim temos a certeza absoluta de que este resultado está correto!

Espero ter ajudado.

Grato

Sandro H. Nakaguma

por **Ariel** » Ter Nov 10, 2015 19:08

Ajudou e MUITO! Muitíssimo obrigada pela explicação detalhada! Espero que eu tb possa te ajudar um dia! Abraços!!

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