[Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

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[Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor IlgssonBraga » Sáb Jul 26, 2014 15:30

Sejam f:X\rightarrow Y e g:Y\rightarrow Z funções. Demonstre que:
Se gof é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora. Onde gof=g(f(x)).
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Re: [Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor ant_dii » Sáb Jul 26, 2014 16:32

Por definição, como f é sobrejetora, para qualquer y \in Y existe, pelo menos, um x \in X tal que f(x)=y.

Também por definição, como g\circ f é injetora segue que para x_1\neq x_2 em X implica que (g \circ f)(x_1) \neq (g \circ f)(x_2) em Z.

Mas (g \circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(y_1) e (g \circ f)(x_2)=g(f(x_2))=g(y_2) para y_1=f(x_1) e y_2=f(x_2).

Logo, x_1\neq x_2 em X implica que g(f(x_1))\neq g(f(x_2)) em Z, ou seja, g é injetora. Note que f "cobre" todos os elementos de Y, por ser sobrejetora ,portanto a implicação acima vale para qualquer elemento de Y.
Só os loucos sabem...
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Re: [Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor IlgssonBraga » Sáb Jul 26, 2014 16:42

Muito obrigado !!!
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