Equação Diofantina Quadrática

por **CJunior** » Qui Jun 26, 2014 10:53

Olá, pessoal! Estou em dúvida no seguinte problema:

Determine todos os pares (x,y)

de inteiros positivos que satisfazem a equação
$x^{2}-xy+2x-3y=2013$ .

OBS.:Considerei essa equação como uma equação do segundo grau em

( já que $x^{2}-xy+2x-3y=2013 \iff x^2-x(y-2)-3y-2013=0$ ), donde $\Delta=(-(y-2))^2-4 \cdot 1 \cdot (-3y-2013)=(2-y)^{2}-4 \cdot (-3y-2013)=4-4y+y^2+12y+8052=y^2+8y+8056$ .Aí depois eu não sei mais como prosseguir a resolução!!!Desde já, muito obrigado pela ajuda!!!

por **Russman** » Qui Jun 26, 2014 21:31

Eu acho que a sua abordagem não é a melhor.Eu pensei em fazer o seguinte:

De fato, você pode escrever

x^2-xy+2x-3y = (x-y-1)(x+3) + 3

Verifique!

Assim, a sua equação se torna

(x-y-1)(x+3) + 3 = 2013

Como

, então

Por exemplo, um par inteiro solução da equação é x=64

e

. Eu fiz

e

de onde segue. Agora basta calcular os outros. Eu ACHO que a quantidade de pares será a combinação de 4, 2 a 2 multiplicada pela combinação de 4, 3 a 3. Ou seja, 24 pares diferentes. Mas não tenho certeza.

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