Álgebra 1

por **barbara-rabello** » Dom Out 06, 2013 18:58

Boa tarde! Estou estudando critérios de divisibilidade e congruências e me deparei com o seguinte problema:

Preciso encontrar o resto da divisão de ${7}^{99999}$ por 100.

Um professor me ajudando, me falou que era assim:

Como 99999 = 4.24444 + 3 e ${7}^{4}$ $\equiv$ 1 mod 100, temos que
$({{7}^{4}})^{24444}\equiv 1 mod 100.$
Portanto, ${7}^{99999}$ = $({{7}^{4}})^{24444}.{7}^{3}\equiv 1.{7}^{3} mod 100 \equiv 43 mod 100$ .

Não conseguir entender esta solução para o problema. Alguém pode me ajudar?

por **matmatco** » Dom Dez 08, 2013 22:44

ele apenas reescreveu 99999 como 4.24444 + 3 mas isto está errado na verdade 99999= 4.2499+ 3 com isso usando congruência vemos que ${7}^{4}\equiv 1 mod 100$ logo reescrevendo temos ${7}^{99999}\equiv {({7}^{4})}^{2499 + 3}={({7}^{4})}^{2499}.{({7}^{4})}^{3}$ e sabendo que ${7}^{4}\equiv 1 mod 100$ temos ${7}^{99999}\equiv {({7}^{4})}^{2499 + 3}={({7}^{4})}^{2499}.{({7}^{4})}^{3}\equiv 1.{7}^{3}\equiv 343\equiv 43 mod 100$ .
espero ter ajudado abraços

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