Frações parciais.

por **380625** » Sex Jul 05, 2013 15:18

Qual a maneira correta de decompor a função $f(s)=\dfrac{s}{(s^2+a^2)^2}$ em fração parciais pois ja tentei de alguns modos e não consegui. Onde a é uma constante positiva.

Ficaria grato com a ajuda.

Flávio Santana.

por **young_jedi** » Sex Jul 05, 2013 17:51

Se você esta tentando calcular a transformada inversa de Laplace desta função sugiro que utilize a seguinte propriedade

$F(s)=\Im\{f(t)\}$

$-\frac{dF(s)}{ds}=\Im\{t.f(t)\}$

sendo $F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}$

$\frac{dF(s)}{ds}=\frac{-2as}{(s^2+a^2)^2}$

$-\frac{1}{2a}\frac{dF(s)}{ds}=\frac{s}{(s^2+a^2)^2}$

por **380625** » Sáb Jul 06, 2013 17:55

Mas como eu relaciono essa propriedade com a afirmação abaixo

$L^-1\left\Big[$ $\dfrac{s}{(s^2+a^2)^2}\right\Big]$ = $\dfrac{1}{2a^3} \sin(at) - \dfrac{1}{2a^2} t \cos(at)$

por **young_jedi** » Sáb Jul 06, 2013 20:46

partindo da onde eu estava

$\frac{1}{2a}\left(\frac{-dF(s)}{ds}\right)=\frac{s}{(s^2+a^2)^2}$

$\frac{1}{2a}\Im\left\{t.sen(at)\right\}=\frac{s}{(s^2+a^2)^2}$

$\Im^{-1}\left\{\frac{s}{(s^2+a^2)^2}\right\}=\frac{1}{2a}t.sen(at)}$

por **380625** » Sáb Jul 13, 2013 00:33

Entao mas assim onde está o outro termo pois o exercicio pede para mostrar que

$L^-1 \Big[\dfrac{s}{(s^2+a^2)^2}\Big] = \dfrac{1}{2a^3}\sin at - \dfrac{1}{2a^2} t \cos at}$

Note que na sua resposta não da isso.

Eu derivei f(s) e encontrei o mesmo que vc. Como chego na resposta correta.

Grato
Flávio Santana.