Potenciação e radiciação

por **anneliesero** » Sáb Abr 27, 2013 22:46

Olá, pessoal

poderia me ajudar aqui? Travei neste exercício e não estou conseguindo achar o resultado.

$\sqrt[]{\frac{a\sqrt[]{b}}{\sqrt[3]{ab}}}.\sqrt[4]{b}$

O resultado é $\sqrt[3]{ab}$ .

Fiz assim:

$\frac{\sqrt[2]{a\sqrt[2]{b}}}{\sqrt[2]{\sqrt[3]{ab}}} \frac{\sqrt[2]{\sqrt[2]{b{a}^{2}}}}{\sqrt[6]{\sqrt[2]{ab}}} \frac{\sqrt[4]{\sqrt[2]{b{a}^{2}}}}{\sqrt[6]{\sqrt[2]{ab}}}$

Não sei porque deu esse erro mas é dividido.

por **e8group** » Sáb Abr 27, 2013 23:48

Note que

$\sqrt[4]{b} = \sqrt{\sqrt{b}}$ .

Assim ,

$\sqrt{\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt[3]{ab}}} \sqrt[4]{b} = \sqrt{\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt[3]{ab}}}\sqrt{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} }{\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{\frac{ab}{\sqrt[3]{ab}}}$ .

Multiplicando-se em cima e em baixo dentro do radical por $\sqrt[3]{(ab)^2}$ segue o resultado .

Outra forma seria reescrever o radical em potência com o expoente fracionário .

Temos :

i) $\sqrt[4]{b} = b^{1/4}$

ii) $\sqrt[3]{ab} = (ab)^{1/3} = a^{1/3} \cdot b^{1/3}$

iii) $\sqrt{b} = b^{1/2}$ .

iv) $\sqrt{\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{\frac{a b^{1/2} }{ a^{1/3} \cdot b^{1/3}}} = \left(\frac{a b^{1/2} }{ a^{1/3} \cdot b^{1/3}}\right)^{1/2} = \left(\frac{b^{1/2} }{b^{1/3}} \cdot \frac{a}{a^{1/3}}\right)^{1/2} = \left(b^{1/2 - 1/3} \cdot a^{1-1/3}\right)^{1/2} = (b^{1/6} a^{2/3})^{1/2} =(b^{1/6})^{1/2} \cdot (a^{2/3})^{1/2} = b^{1/12} a^{1/3}$

Daí ,

$\sqrt{\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt[3]{ab}}} \sqrt[4]{b} = b^{1/12} a^{1/3} b^{1/4} = b^{1/12 +1/4} a^{1/3} = b^{4/12} a^{1/3} = b^{1/3} a^{1/3} = (ab)^{1/3} = \sqrt[3]{ab}$

Infelizmente não conseguir visualizar a sua resolução por causa da configuração com o $\LaTeX$

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