Simplificar

por **Danilo** » Ter Ago 14, 2012 15:32

Simplificar,

${\left[\left(a\sqrt[]{a} + b\sqrt[]{b} \right){ \left(\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} \right)}^{-1} + 3\sqrt[]{ab} \right]}^{\frac{1}{2}}$

eu fiz assim:
=

$\sqrt[]{\frac{a\sqrt[]{a} + b\sqrt[]{b}}{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}} + 3\sqrt[]{ab}}$ =

$\sqrt[]{\left(\frac{a\sqrt[]{a} + b\sqrt[]{b} + 3a\sqrt[]{b} + 3b\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}} \right) \cdot \left(\frac{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}}{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}} \right)}$ =

$\sqrt[]{\frac{{a}^{2} + b\sqrt[]{ab} + 3a\sqrt[]{ab} + 3ab - a\sqrt[]{ab} - {b}^{2} - 3ab -3b\sqrt[]{ab}}{a-b}}$ =

$\sqrt[]{\frac{\left(a+b \right)\left(a-b \right)-2b\sqrt[]{ab} + 2a\sqrt[]{ab}}{a-b}}$ =

$\sqrt[]{\frac{\left(a+b \right) -2\sqrt[]{ab}\left(b-a \right)}{a-b}}$

e é aqui que eu não sei mais o que fazer... a resposta é $\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}$ .

por **e8group** » Ter Ago 14, 2012 17:09

Observe que sua expressão se resume a isto ,

$\sqrt{ \frac{a^{3/2} +b^{3/2} +3(ab)^{1/2}(a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}+b^{1/2}}$ .Agora seja ,

$x = \sqrt{ \frac{a^{3/2} +b^{3/2} +3(ab)^{1/2}(a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}+b^{1/2} }$ .Assumindo

e

são números positivos ,temos :

$x^2 = \frac{a^{3/2} +b^{3/2} +3(ab)^{1/2}(a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}+b^{1/2} }$ .

Fazendo , $a^{1/2} = w ; b^{1/2} = z$ segue que :

$x^2 =\frac{ w^3 + z^3 +3(wz)[w+z]}{w+z}$ .Logo ,

$x^2 = \frac{(w+z)^3}{w+z}$ .Ou seja , x = w+z

,lembrando que $w = \sqrt{a} ;z= \sqrt{b}$ .Assim concluímos que ,

$x = \sqrt{a} +\sqrt{b}$ .

por **Danilo** » Qua Ago 15, 2012 02:38

Valeu !

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